Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R^2 times 2.
8. Seja A um vetor particular em R^2 times 2. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R^2 times 2.
(a) S1=B in R^2 times 2 / A B=B A
(b) S2=B in R^2 times 2 / A B neq B A
(c) S3=B in R^2 times 2 / B A=0

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial R^2times 2 e um elemento fixo Ain R^2times 2. Para cada conjunto
S1 = Bin R^2times 2mid AB=BA, S2 = Bin R^2times 2mid ABneq BA, S3 = Bin R^2times 2mid BA=0,
queremos testar se é subespaço de R^2times 2. Lembrando que para ser subespaço basta verificar três condições:
  1. 0 (a matriz zero) pertence ao conjunto;
  2. fechado sob soma: se B1,B2 estão no conjunto, então B1+B2 também está;
  3. fechado sob multiplicação por escalar: se B está no conjunto e cinR, então cB está no conjunto.

Passo 2

Análise de S1=Bmid AB=BA.
  1. 0in S1 porque
A0=0= 0A
  1. Se B1,B2in S1, isto é AB1=B1A e AB2=B2A, então
A(B1+B2)=AB1+AB2=B1A+B2A=(B1+B2)A,
logo B1+B2in S1.
3. Se Bin S1 e cinR, então
A(cB)=c,(AB)=c,(BA)=(cB)A,
logo cBin S1.
Portanto S1 satisfaz as três condições e é subespaço.

Passo 3

Análise de S2=Bmid ABneq BA.
Para ser subespaço, o conjunto deve conter 0. Mas
A0=0= 0A,
logo 0 comuta com A e, portanto, 0notin S2.
Como falha a condição de conter o zero, S2 não é subespaço.

Passo 4

Análise de S3=Bmid BA=0.
  1. 0in S3 pois 0,A=0.
  2. Se B1,B2in S3, então
(B1+B2)A = B1A + B2A = 0 + 0 = 0,
logo B1+B2in S3.
3. Se Bin S3 e cinR,
(cB)A = c,(BA) = c,0 = 0,
logo cBin S3.
Portanto S3 também é subespaço.

Resposta

(a) S1 é subespaço de R^2times 2.
(b) S2 não é subespaço de R^2times 2.
(c) S3 é subespaço de R^2times 2.

Exercícios relacionados