Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
.
8. Seja A um vetor particular em
. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
(a)
(b)
(c)
8. Seja A um vetor particular em
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
e um elemento fixo
. Para cada conjunto
queremos testar se é subespaço de
. Lembrando que para ser subespaço basta verificar três condições:
-
(a matriz zero) pertence ao conjunto; - fechado sob soma: se
estão no conjunto, então também está; - fechado sob multiplicação por escalar: se
está no conjunto e , então está no conjunto.
Passo 2
Análise de
.
-
porque
- Se
, isto é e , então
logo
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Portanto satisfaz as três condições e é subespaço.
Portanto
Passo 3
Análise de
.
Para ser subespaço, o conjunto deve conter . Mas
Para ser subespaço, o conjunto deve conter
logo
comuta com
e, portanto,
.
Como falha a condição de conter o zero, não é subespaço.
Como falha a condição de conter o zero,
Passo 4
Análise de
.
-
pois . - Se
, então
logo
.
3. Se e
,
3. Se
logo
.
Portanto também é subespaço.
Portanto
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b) não é subespaço de
.
(c) é subespaço de
.
(b)
(c)