Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes.
14. Seja
o espaço vetorial das seqüências infinitas definido no exercício 15 da seção1. Seja
o conjunto das seqüências
tais que
quando
. Mostre que
é um subespaço de
.
14. Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço vetorial de todas as sequências infinitas de números reais (ou complexos) e que
Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso, vamos usar o critério usual de subespaço:
- verificar que o vetor zero pertence a
, - verificar que
é fechado sob soma, - verificar que
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
(isto é, a sequência
) pertence a
. De fato, para essa sequência temos
logo ela satisfaz a condição de
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
e
duas sequências em
. Então
Pela propriedade dos limites,
Logo
, mostrando o fechamento sob soma.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
um escalar qualquer e
. Como
, pelas propriedades de limite escalares temos
Portanto
, mostrando o fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
Como
contém a sequência zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.