Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes.
14. Seja S o espaço vetorial das seqüências infinitas definido no exercício 15 da seção1. Seja S0 o conjunto das seqüências an tais que an 0 quando n infty. Mostre que S0 é um subespaço de S.

Passo 1

O enunciado diz que S é o espaço vetorial de todas as sequências infinitas de números reais (ou complexos) e que
S0 = l(an)n=1^inftyin S mid limntoinftyan=0r
Queremos mostrar que S0 é subespaço de S. Para isso, vamos usar o critério usual de subespaço:
  1. verificar que o vetor zero pertence a S0,
  2. verificar que S0 é fechado sob soma,
  3. verificar que S0 é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de S (isto é, a sequência (0,0,0,dots)) pertence a S0. De fato, para essa sequência temos
limntoinfty0 = 0,
logo ela satisfaz a condição de S0.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja (an) e (bn) duas sequências em S0. Então
limntoinftyan=0 e limntoinftybn=0
Pela propriedade dos limites,
limntoinfty(an+bn) =limntoinftyan+limntoinftybn =0+0=0
Logo (an+bn)in S0, mostrando o fechamento sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambda um escalar qualquer e (an)in S0. Como limntoinftyan=0, pelas propriedades de limite escalares temos
limntoinfty(lambda,an) =lambda;limntoinftyan =lambdacdot 0=0
Portanto (lambda,an)in S0, mostrando o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

Como S0 contém a sequência zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S0 é um subespaço de S.

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