- Seja
o espaço vetorial das seqüências infinitas definido no exercício 15 da seção1. Seja
o conjunto das seqüências
tais que
quando
. Mostre que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todas as sequências infinitas de números reais e
Para mostrar que
é subespaço de
precisamos verificar três propriedades básicas de subespaço:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a sequência zero
é elemento de
pois
. Logo,
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
e
. Então
Pela propriedade de limites de soma,
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
e pela propriedade de limite de produto por escalar,
Logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.