1. Seja S o espaço vetorial das seqüências infinitas definido no exercício 15 da seção1. Seja S0 o conjunto das seqüências an tais que an 0 quando n infty. Mostre que S0 é um subespaço de S.

Passo 1

O enunciado define S como o espaço vetorial de todas as sequências infinitas de números reais e
S0 = l(an)n=1^inftyin S mid limntoinftyan=0r
Para mostrar que S0 é subespaço de S precisamos verificar três propriedades básicas de subespaço:
  1. O vetor zero está em S0.
  2. S0 é fechado sob soma de vetores.
  3. S0 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a sequência zero
(0,0,0,dots)
é elemento de S0 pois limntoinfty0 = 0. Logo, S0neqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja (an)in S0 e (bn)in S0. Então
limntoinftyan=0 e limntoinftybn=0
Pela propriedade de limites de soma,
limntoinfty(an+bn) =limntoinftyan+limntoinftybn =0+0=0
Portanto (an+bn)in S0.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e (an)in S0. Então limntoinftyan=0 e pela propriedade de limite de produto por escalar,
limntoinfty(alpha an) =alphalimntoinftyan =alphacdot0=0
Logo (alpha an)in S0.

Resposta

Como S0 contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que S0 é subespaço vetorial de S.

Exercícios relacionados