( 2,0 pts.) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=\frac{\cos (x+1)}{2+5 x}
para x=-1.
y=

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{\cos(x+1)}{2+5x} no ponto em que x=-1. Para isso, precisamos de duas coisas: o valor de f(-1) (para obter o ponto de tangência) e a derivada f'(x) (para obter o coeficiente angular).

Passo 2

Calcular f(-1):
f(-1)=\frac{\cos((-1)+1)}{2+5(-1)}=\frac{\cos(0)}{2-5}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.
Logo, o ponto de tangência é \bigl(-1,-\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 3

Calcular f'(x) pelo quociente. Se definimos
u(x)=\cos(x+1), \quad v(x)=2+5x,
então
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-v'(x)\,u(x)}{v(x)^2} =\frac{-\sin(x+1)\,(2+5x)-5\cos(x+1)}{(2+5x)^2}.
Avaliando em x=-1:
f'(-1) =\frac{-\sin(0)\,(2-5)-5\cos(0)}{(-3)^2} =\frac{0-5\cdot1}{9} =-\frac{5}{9}.

Passo 4

Montar a equação da reta tangente em forma ponto-declive. Para o ponto \bigl(x_0,y_0\bigr)=\bigl(-1,-\tfrac{1}{3}\bigr) e coeficiente angular m=f'(-1)=-\tfrac{5}{9},
y-y_0=m(x-x_0) \quad\Longrightarrow\quad y+\frac{1}{3}=-\frac{5}{9}(x+1).
Isolando y:
y=-\frac{5}{9}x-\frac{8}{9}.

Resposta

y=-\frac{5}{9}x-\frac{8}{9}

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