( 2,0 pts.) Determine o valor de \mathbf{m}\) para o qual a função \[f(x)= \begin{cases}\left(1-e^{2-x}\right) \cdot \sin \left(x^{2}+2\right), & \text { se } x<2 \\\ \mathbf{m} x^{3}+x^{2}-x, & \text { se } x \geq 2\end{cases}
seja contínua em (x=2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} \bigl(1 - e^{\,2 - x}\bigr)\,\sin\bigl(x^{2}+2\bigr), & x<2,\\\ m\,x^{3} + x^{2} - x, & x\ge2, \end{cases}
e pede o valor de m que torna f contínua em x=2. Para isso, usamos o critério de continuidade num ponto:
\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2).

Passo 2

Calcular o limite à esquerda em x=2. Como a parte para x<2 é \bigl(1 - e^{2 - x}\bigr)\sin(x^{2}+2), basta substituir x=2:
\lim_{x\to2^-}f(x) = \bigl(1 - e^{\,2-2}\bigr)\,\sin\bigl(2^{2}+2\bigr) = \bigl(1 - e^{0}\bigr)\,\sin(6) = (1 - 1)\,\sin(6) = 0.

Passo 3

Avaliar f(2) pelo ramo de x\ge2, que é m\,x^{3}+x^{2}-x. Logo,
f(2)=m\cdot2^{3}+2^{2}-2 =8m+4-2 =8m+2.

Passo 4

Impor continuidade em x=2 faz
\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2) \quad\Longrightarrow\quad 0 = 8m + 2 \quad\Longrightarrow\quad m = -\tfrac{2}{8} = -\tfrac14.

Resposta

m = -\tfrac14.

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