( 1,5 pts.) Determine o valor de b para o qual
L=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+7 x^{2}-b x}{x^{2}+3 x+2}
seja igual a um número real. E em seguida, calcule o valor de L.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
L = \lim_{x\to -1} \frac{x^{3}+7x^{2}-b\,x}{x^{2}+3x+2}
querendo que L seja um número real (finito). O ponto x=-1 anula o denominador, então teremos indeterminação \tfrac{0}{0} a menos que o numerador também se anule em x=-1. Vamos usar fatoração e cancelamento de fator comum para remover essa indeterminação.

Passo 2

Para que a forma seja \tfrac{0}{0} em x=-1, exigimos
(-1)^{3} + 7(-1)^{2} - b(-1) = 0.
Isso dá
-1 + 7 + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -6.

Passo 3

Com b=-6, o numerador fica
x^{3} + 7x^{2} - (-6)x = x^{3} + 7x^{2} + 6x = x\,(x^{2}+7x+6).
E x^{2}+7x+6 = (x+1)(x+6). O denominador é
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2).
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\frac{x^{3}+7x^{2}-(-6)x}{x^{2}+3x+2} = \frac{x\,(x+1)(x+6)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x\,(x+6)}{x+2},
válido para x\neq -1. Agora o limite existe e é
L = \lim_{x\to -1}\frac{x(x+6)}{x+2} = \frac{(-1)\,(5)}{1} = -5.

Resposta

b = -6 L = -5

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