(2,5 pts) Determine o perfil de velocidade
para o escoamento tangencial entre dois cilindros coaxiais de raio
e
que giram com velocidades angulares
e
respectivamente. Assumir que o espaço entre os cilindros é ocupado por um fluido isotérmico, incompressível e se movimenta em regime laminar. Considerar que
e nāo existe variação da pressão e velocidade na direção tangencial (θ). Deixe claro as hipóteses simplificadoras e condições de contorno definidas.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o perfil de velocidade tangencial entre dois cilindros coaxiais de raios
(cilindro interno) e
(cilindro externo), que giram com velocidades angulares
(interno) e
(externo). O espaço entre os cilindros contém um fluido isotérmico, incompressível e em regime laminar. Foi indicado que
e que não existe variação de pressão nem de velocidade na direção tangencial
.\n\nInformações relevantes (dadas pelo enunciado):\n- Raios:
(cilindro interno) e
(cilindro externo).\n- Velocidades angulares:
no cilindro interno e
no cilindro externo.\n- O fluido é incompressível, isotérmico e o escoamento é laminar e estacionário.\n- Não há variação na direção
(escolhemos coordenadas cilíndricas
).\n- Foi indicada a condição
— vou interpretar isso como ausência de velocidade axial:
. (Se eu estiver interpretando errado esse símbolo, por favor observe que não ficou 100% claro no enunciado texto, mas a interpretação comum para escoamento entre cilindros é
e
.)\n\nPergunta a responder: determinar o perfil de velocidade tangencial
(ou seja, a função
em função de
) para o escoamento entre os cilindros, explicitando hipóteses e condições de contorno.\n\nCondições de contorno definidas (impostas fisicamente):\n- Parede interna,
: velocidade tangencial do fluido igual à velocidade da parede:
.\n- Parede externa,
:
.\n- Impermeabilidade das paredes implica
em
e
. Em nossa solução assumiremos
em todo o domínio radial (fluxo puramente tangencial).\n\nHypóteses simplificadoras (claras e necessárias):\n- Escoamento estacionário:
.\n- Escoamento puramente tangencial e axisimétrico:
e
.\n- Sem variação de pressão na direção tangencial e sem gradiente de pressão que force o movimento azimutal (portanto o termo de pressão na equação azimutal é nulo).\n- Corpo de forças (gravidade, etc.) desprezíveis na componente azimutal.\n\nA partir daqui começo a resolução matemática passo a passo.
Passo 2
Conseqüências das hipóteses: como
e
somente, quase todos os termos advectivos e as derivadas em
ou
nas equações de Navier–Stokes desaparecem. Vou escrever a equação de equilíbrio na componente azimutal (θ) em coordenadas cilíndricas e simplificá‑la com as hipóteses.\n\nBreve lembrete (didático) sobre a equação de Navier–Stokes na componente
: a forma geral (antes das simplificações) inclui termos de aceleração advectiva, gradiente de pressão e termos viscosos. Mas, para o nosso caso particular muitas parcelas caem por serem zero. Nosso objetivo é obter uma equação diferencial em
para
.
Passo 3
Escrevendo a equação azimutal (θ) de Navier–Stokes para fluxo incompressível e viscoso em coordenadas cilíndricas e aplicando as simplificações (estacionário,
,
,
, sem gradiente de pressão azimutal) obtém‑se a condição de equilíbrio puramente viscosa\n
\nonde
é a viscosidade dinâmica do fluido e
aqui é o Laplaciano em coordenadas cilíndricas aplicado à componente azimutal.\n\nExplicando a fórmula:
em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende só de
, reduz a\n
\nportanto a equação torna‑se\n
\nComo
, simplificamos e ficamos com a equação ordinária para
:
Passo 4
Resolver a equação diferencial. Primeiro multiplico por
para ficar com forma mais simples:
Passo 5
Interpretação física e forma alternativa: podemos escrever também a velocidade angular efetiva do fluido
. Da solução acima resulta
Passo 6
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
.\nCondições (relembrando):\n
\nUsando
obtemos o sistema linear para
e
:\n
\n
\nDividindo a primeira equação por
e a segunda por
(para simplificar) resulta\n
\n
Passo 7
Resolver o sistema por subtração: subtraindo a segunda equação da primeira,
Passo 8
Resumo das constantes encontradas (para usar na expressão final):\n
\nAqui
tem dimensão de velocidade angular (rad/s) e
tem dimensão de velocidade × comprimento (
), de forma que
tem dimensão de velocidade, coerente com
.\n\nObservação física rápida (motivacional): se
então
e
, logo
— fluido gira como corpo rígido com a mesma velocidade angular, o que faz sentido físico.