(2,5 pts) Determine o perfil de velocidade \mathbf{v e}_{\mathbf{e} \boldsymbol{(} \mathbf{r} \boldsymbol{)}} para o escoamento tangencial entre dois cilindros coaxiais de raio \mathbf{R} e \mathbf{k R} que giram com velocidades angulares \omega_{0} e \omega_{1} respectivamente. Assumir que o espaço entre os cilindros é ocupado por um fluido isotérmico, incompressível e se movimenta em regime laminar. Considerar que \mathrm{y}_{2}=\mathrm{V}_{2}=0 e nāo existe variação da pressão e velocidade na direção tangencial (θ). Deixe claro as hipóteses simplificadoras e condições de contorno definidas.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o perfil de velocidade tangencial entre dois cilindros coaxiais de raios R (cilindro interno) e kR (cilindro externo), que giram com velocidades angulares \omega_{0} (interno) e \omega_{1} (externo). O espaço entre os cilindros contém um fluido isotérmico, incompressível e em regime laminar. Foi indicado que y_{2}=V_{2}=0 e que não existe variação de pressão nem de velocidade na direção tangencial (\theta).\n\nInformações relevantes (dadas pelo enunciado):\n- Raios: r=R (cilindro interno) e r=kR (cilindro externo).\n- Velocidades angulares: \omega_{0} no cilindro interno e \omega_{1} no cilindro externo.\n- O fluido é incompressível, isotérmico e o escoamento é laminar e estacionário.\n- Não há variação na direção \theta (escolhemos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z)).\n- Foi indicada a condição y_{2}=V_{2}=0 — vou interpretar isso como ausência de velocidade axial: v_{z}=0. (Se eu estiver interpretando errado esse símbolo, por favor observe que não ficou 100% claro no enunciado texto, mas a interpretação comum para escoamento entre cilindros é v_{r}=0 e v_{z}=0.)\n\nPergunta a responder: determinar o perfil de velocidade tangencial \mathbf{v}_{\theta}(r) (ou seja, a função v_{\theta} em função de r) para o escoamento entre os cilindros, explicitando hipóteses e condições de contorno.\n\nCondições de contorno definidas (impostas fisicamente):\n- Parede interna, r=R: velocidade tangencial do fluido igual à velocidade da parede: v_{\theta}(R)=\omega_{0}R.\n- Parede externa, r=kR: v_{\theta}(kR)=\omega_{1}kR.\n- Impermeabilidade das paredes implica v_{r}=0 em r=R e r=kR. Em nossa solução assumiremos v_{r}=0 em todo o domínio radial (fluxo puramente tangencial).\n\nHypóteses simplificadoras (claras e necessárias):\n- Escoamento estacionário: \partial/\partial t = 0.\n- Escoamento puramente tangencial e axisimétrico: v_{r}=0,\; v_{z}=0,\; v_{\theta}=v_{\theta}(r) e \partial/\partial \theta = 0,\; \partial/\partial z = 0.\n- Sem variação de pressão na direção tangencial e sem gradiente de pressão que force o movimento azimutal (portanto o termo de pressão na equação azimutal é nulo).\n- Corpo de forças (gravidade, etc.) desprezíveis na componente azimutal.\n\nA partir daqui começo a resolução matemática passo a passo.

Passo 2

Conseqüências das hipóteses: como v_{r}=0 e v_{\theta}=v_{\theta}(r) somente, quase todos os termos advectivos e as derivadas em \theta ou z nas equações de Navier–Stokes desaparecem. Vou escrever a equação de equilíbrio na componente azimutal (θ) em coordenadas cilíndricas e simplificá‑la com as hipóteses.\n\nBreve lembrete (didático) sobre a equação de Navier–Stokes na componente \theta: a forma geral (antes das simplificações) inclui termos de aceleração advectiva, gradiente de pressão e termos viscosos. Mas, para o nosso caso particular muitas parcelas caem por serem zero. Nosso objetivo é obter uma equação diferencial em r para v_{\theta}(r).

Passo 3

Escrevendo a equação azimutal (θ) de Navier–Stokes para fluxo incompressível e viscoso em coordenadas cilíndricas e aplicando as simplificações (estacionário, v_{r}=0, v_{z}=0, \partial/\partial\theta=0, sem gradiente de pressão azimutal) obtém‑se a condição de equilíbrio puramente viscosa\n \mu\left(\nabla^{2} v_{\theta} - \frac{v_{\theta}}{r^{2}}\right)=0,\nonde \mu é a viscosidade dinâmica do fluido e \nabla^{2} aqui é o Laplaciano em coordenadas cilíndricas aplicado à componente azimutal.\n\nExplicando a fórmula: \nabla^{2} v_{\theta} em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende só de r, reduz a\n \nabla^{2} v_{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d v_{\theta}}{dr}\right),\nportanto a equação torna‑se\n \mu\!\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d v_{\theta}}{dr}\right)-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}\right)=0.\nComo \mu\neq 0, simplificamos e ficamos com a equação ordinária para v_{\theta}(r):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d v_{\theta}}{dr}\right)-\frac{v_{\theta}}{r^{2}}=0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial. Primeiro multiplico por r^{2} para ficar com forma mais simples:
r\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d v_{\theta}}{dr}\right)-v_{\theta}=0.\nUma maneira direta de resolver é procurar soluções do tipo potência: suponha uma solução v_{\theta}(r)=C\,r^{m} (teste de ansatz). Substituindo na equação obtém‑se (mostro passo a passo):\n\nCalcule r\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{d (C r^{m})}{dr}\right)-C r^{m}.\nPrimeiro \frac{d (C r^{m})}{dr}=C m r^{m-1}. Então r\frac{d (C r^{m})}{dr}=C m r^{m}. Derivando isso em relação a r: \frac{d}{dr}\big(C m r^{m}\big)=C m^{2} r^{m-1}. Multiplicando por r C m^{2} r^{m}. Subtraindo C r^{m} resulta\n C\big(m^{2}-1\big) r^{m}=0.\nLogo a condição para não‑trivialidade é m^{2}-1=0, ou seja m=\pm 1.\n\nPortanto as duas soluções independentes são r^{1} e r^{-1}. Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é combinação linear:
v_{\theta}(r)=A\,r+\frac{B}{r},\nonde A e B são constantes arbitrárias a determinar pelas condições de contorno.

Passo 5

Interpretação física e forma alternativa: podemos escrever também a velocidade angular efetiva do fluido \Omega(r)=v_{\theta}(r)/r. Da solução acima resulta
\Omega(r)=A+\frac{B}{r^{2}}.\nIsto mostra que a velocidade angular do fluido é a soma de uma parte constante mais uma parte que decai como 1/r^{2}. Essa representação é útil para entender limites (por exemplo, comportamento próximo ao eixo ou para grandes r), mas a resposta pedida normalmente é v_{\theta}(r).

Passo 6

Aplicar as condições de contorno para determinar A e B.\nCondições (relembrando):\n v_{\theta}(R)=\omega_{0}R,\qquad v_{\theta}(kR)=\omega_{1}kR.\nUsando v_{\theta}(r)=A r + B/r obtemos o sistema linear para A e B:\n A R + \frac{B}{R}=\omega_{0}R,\n A kR + \frac{B}{kR}=\omega_{1}kR.\nDividindo a primeira equação por R e a segunda por kR (para simplificar) resulta\n A+\frac{B}{R^{2}}=\omega_{0},\n A+\frac{B}{k^{2}R^{2}}=\omega_{1}.

Passo 7

Resolver o sistema por subtração: subtraindo a segunda equação da primeira,
\left(A+\frac{B}{R^{2}}\right)-\left(A+\frac{B}{k^{2}R^{2}}\right)=\omega_{0}-\omega_{1}.\nIsto dá
\frac{B}{R^{2}}\!\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\omega_{0}-\omega_{1}.\nPortanto
B=R^{2}\,(\omega_{0}-\omega_{1})\frac{1}{1-\dfrac{1}{k^{2}}}.\nSimplificando o fator \dfrac{1}{1-1/k^{2}}=\dfrac{k^{2}}{k^{2}-1}, obtemos
B=R^{2}(\omega_{0}-\omega_{1})\frac{k^{2}}{k^{2}-1}.\nAgora obtemos A substituindo em A+\dfrac{B}{R^{2}}=\omega_{0}:\n A=\omega_{0}-\frac{B}{R^{2}}=\omega_{0}-(\omega_{0}-\omega_{1})\frac{k^{2}}{k^{2}-1}.\nColocando em forma compacta (comum em problemas de Couette cilíndrico),
A=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1}.

Passo 8

Resumo das constantes encontradas (para usar na expressão final):\n A=\frac{\omega_{1}k^{2}-\omega_{0}}{k^{2}-1},\qquad B=R^{2}(\omega_{0}-\omega_{1})\frac{k^{2}}{k^{2}-1}.\nAqui A tem dimensão de velocidade angular (rad/s) e B tem dimensão de velocidade × comprimento ( \text{m}^2/\text{s}), de forma que B/r tem dimensão de velocidade, coerente com A r.\n\nObservação física rápida (motivacional): se \omega_{0}=\omega_{1} então B=0 e A=\omega_{0}, logo v_{\theta}(r)=\omega_{0}r — fluido gira como corpo rígido com a mesma velocidade angular, o que faz sentido físico.

Resposta

v_{\theta}(r)=\frac{(\omega_{1}k^{2}-\omega_{0})\,r+(\omega_{0}-\omega_{1})\dfrac{k^{2}R^{2}}{r}}{k^{2}-1}.

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