Acredita-se que a potência P necessária para acionar um ventilador dependa da massa específica \rho, da velocidade angular \omega e da vazão volumétrica Q do ar, bem como do diâmetro D do rotor desse equipamento de fluxo.
a. Determine por análise dimensional a dependência de P aos demais parâmetros (quais as grandezas mais adequadas para serem repetitivas?);
b. Um ventilador adquirido no comércio será utilizado para testes no laboratório, empregando ar para simular um ventilador industrial para insuflamento de ar secundário em caldeira a vapor. Se a escala entre o modelo e o protótipo é de 1:5, se o motor elétrico que aciona o modelo é de 0,5 \mathrm{~kW} e o protótipo demanda 100 kW e se a velocidade angular do modelo é 4 vezes superior ao do protótipo, verifique se o conjunto motor-ventilador adquirido no comércio atende aos requisitos de semelhança dinâmica com o protótipo a ser utilizado na caldeira; caso não atenda, determine qual a escala necessária nos diâmetros para atender a tais requisitos.

Passo 1

O enunciado faz duas coisas e nos dá dados explícitos. Vou listar separadamente para ficar clarinho.
Perguntas:
  1. (a) Determinar por análise dimensional a dependência da potência P em função das outras grandezas (e indicar quais grandezas são boas como repetitivas).
  2. (b) Verificar, para um modelo comprado, se há semelhança dinâmica com o protótipo dado certos números (escala linear, potência do motor do modelo, potência do protótipo e razão angular); se não houver, encontrar a escala nos diâmetros necessária para atender a semelhança.
Dados do enunciado (vou nomear e anotar as dimensões):
  • Potência: P com dimensões [P]= massa × comprimento² × tempo ^{-3} = \mathrm{M L^2 T^{-3}}.
  • Massa específica (densidade): \rho com dimensões [ \rho ]=\mathrm{M L^{-3}}.
  • Velocidade angular: \omega com dimensões [ \omega ]=\mathrm{T^{-1}}.
  • Vazão volumétrica: Q com dimensões [ Q ]=\mathrm{L^3 T^{-1}}.
  • Diâmetro do rotor: D com dimensões [D]=\mathrm{L}.
Dados numéricos para a parte (b):
  • Escala entre modelo e protótipo: 1:5 (ou seja, D_{\text{m}}/D_{\text{p}}=1/5).
  • Potência do motor do modelo: P_{\text{m}}=0{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Potência do protótipo: P_{\text{p}}=100\\ \mathrm{kW}.
  • Razão angular: \omega_{\text{m}} = 4\,\omega_{\text{p}}.
  • Pressuposição física: o fluido é ar (mesma densidade para modelo e protótipo), e supomos geometria semelhante (geometricamente similar).

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (sem pular etapas): vou aplicar o Teorema de Buckingham \pi para obter grupos adimensionais. ideia: com n variáveis e k dimensões fundamentais, existem n-k grupos adimensionais independentes. Aqui temos n=5 variáveis (P,\rho,\omega,Q,D) e k=3 dimensões fundamentais (\mathrm{M,L,T}), então haverá 5-3=2 grupos adimensionais.
Escolha das variáveis repetitivas: preciso escolher k=3 variáveis cujas dimensões sejam independentemente representativas (i.e., que juntas carreguem \mathrm{M,L,T}). Boas escolhas neste problema são \rho (contém M e L), \omega (contém T) e D (contém L). Essas três cobrem \mathrm{M,L,T} e não são combinacionalmente dependentes, por isso são repetitivas adequadas. Vou justificar: \rho traz massa/volume ( \mathrm{M L^{-3}}), \omega traz tempo ( \mathrm{T^{-1}}) e D traz comprimento ( \mathrm{L}). Então usarei \rho,\omega,D como repetitivas.

Passo 3

Construção do primeiro grupo adimensional \pi_1 envolvendo P.
Proponho
\pi_1 = P \, \rho^{a} \, \omega^{b} \, D^{c},
onde escolho os expoentes a,b,c para que \pi_1 seja adimensional.
Agora escrevo as dimensões combinadas e imponho que cada potência da base \mathrm{M,L,T} seja zero.
Dimensões:
[P]=\mathrm{M L^2 T^{-3}},\quad [\rho]=\mathrm{M L^{-3}},\quad [\omega]=\mathrm{T^{-1}},\quad [D]=\mathrm{L}.
Multiplicando:
[\pi_1]=\mathrm{M^{1+a} \, L^{2-3a+c} \, T^{-3-b}}.
Para \pi_1 adimensional, os expoentes devem ser zero:
  1. Para \mathrm{M}: 1+a=0 \Rightarrow a=-1.
  2. Para \mathrm{T}: -3-b=0 \Rightarrow b=-3.
  3. Para \mathrm{L}: 2-3a+c=0. Substituindo a=-1: 2-3(-1)+c=0 \Rightarrow 2+3+c=0\Rightarrow c=-5.
Portanto
\pi_1 = P\,\rho^{-1}\,\omega^{-3}\,D^{-5} = \frac{P}{\rho\,\omega^{3}\,D^{5}}.

Passo 4

Construção do segundo grupo adimensional \pi_2 envolvendo Q.
Proponho
\pi_2 = Q \, \rho^{\alpha} \, \omega^{\beta} \, D^{\gamma},
e faço o mesmo procedimento.
Dimensões:
[Q]=\mathrm{L^{3} T^{-1}},\quad [\pi_2]=\mathrm{M^{\alpha} \, L^{3-3\alpha+\gamma} \, T^{-1-\beta}}.
Exigindo adimensionalidade:
  1. Para \mathrm{M}: \alpha=0.
  2. Para \mathrm{T}: -1-\beta=0\Rightarrow \beta=-1.
  3. Para \mathrm{L}: 3-3\alpha+\gamma=0. Com \alpha=0: 3+\gamma=0\Rightarrow \gamma=-3.
Logo
\pi_2 = Q\,\rho^{0}\,\omega^{-1}\,D^{-3} = \frac{Q}{\omega\,D^{3}}.

Passo 5

Escrevendo a relação entre os grupos e interpretando o resultado (resposta da parte a):
O Teorema de Buckingham diz que existe uma relação funcional entre os dois grupos adimensionais:
\frac{P}{\rho\,\omega^{3}\,D^{5}}=\Phi\!\left(\frac{Q}{\omega\,D^{3}}\right).
Interpretação física (em linguagem direta):
  • \displaystyle \pi_1=\frac{P}{\rho\,\omega^{3}\,D^{5}} é o coeficiente de potência (power coefficient).
  • \displaystyle \pi_2=\frac{Q}{\omega\,D^{3}} é o coeficiente de vazão (flow coefficient).
    Se dois ventiladores são geometricamente semelhantes e operam no mesmo ponto adimensional (mesmo \pi_2), então \pi_1 é o mesmo e obtemos as leis de afinidade (as famosas leis dos ventiladores):
Q \propto \omega\,D^{3},\qquad P \propto \rho\,\omega^{3}\,D^{5}.
Essas são as dependências que você deve usar na prova: escolha \rho,\omega,D como repetitivas e obtenha os dois \pi acima.

Passo 6

Agora aplico as leis de afinidade para verificar a semelhança dinâmica na parte (b).
Primeiro avalio com a escala fornecida D_{\text{m}}/D_{\text{p}}=1/5 e \omega_{\text{m}}/\omega_{\text{p}}=4. Usando a lei de potência:
\frac{P_{\text{m}}}{P_{\text{p}}} = \left(\frac{\omega_{\text{m}}}{\omega_{\text{p}}}\right)^{3}\left(\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}\right)^{5}\left(\frac{\rho_{\text{m}}}{\rho_{\text{p}}}\right).
Como é ar em ambos, \rho_{\text{m}}=\rho_{\text{p}}, então:
\frac{P_{\text{m}}}{P_{\text{p}}} = 4^{3}\left(\tfrac{1}{5}\right)^{5}=\frac{64}{3125}=0{,}02048\\ (\text{aprox.}).
Com P_{\text{p}}=100\\ \mathrm{kW} a potência exigida no modelo para manter semelhança seria
P_{\text{m,req}} = 100\cdot 0{,}02048 \approx 2{,}048\\ \mathrm{kW}.
Mas o motor disponível é P_{\text{m,disponível}}=0{,}5\\ \mathrm{kW}í. Conclusão imediata: o conjunto comprado NÃO atende aos requisitos de semelhança dinâmica (o motor é fraco — precisaria de cerca de 2{,}05\\ \mathrm{kW} para simular o protótipo com a escala 1:5 e a razão de velocidades dada).

Passo 7

Calcular a escala necessária nos diâmetros para que, com P_{\text{m}}=0{,}5\\ \mathrm{kW} e \omega_{\text{m}}=4\omega_{\text{p}}, o modelo represente o protótipo P_{\text{p}}=100\\ \mathrm{kW}.
Partimos da mesma fórmula:
\frac{P_{\text{m}}}{P_{\text{p}}} = \left(\frac{\omega_{\text{m}}}{\omega_{\text{p}}}\right)^{3}\left(\frac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}\right)^{5}.
Isolando s:=\dfrac{D_{\text{m}}}{D_{\text{p}}}:
s^{5} = \frac{P_{\text{m}}/P_{\text{p}}}{(\omega_{\text{m}}/\omega_{\text{p}})^{3}}.
Substituindo números:
s^{5} = \frac{0{,}5/100}{4^{3}} = \frac{0{,}005}{64} = 7{,}8125\times 10^{-5}.
Tirando a quinta raiz:
s = \left(7{,}8125\times 10^{-5}\right)^{1/5} \approx 0{,}1507.
Isso significa D_{\text{m}}/D_{\text{p}}\approx 0{,}1507, ou em escala linear aproximada 1:6{,}64 (ou seja, modelo deve ter ~15,07% do diâmetro do protótipo).

Passo 8

Interpretação numérica final e observações práticas rápidas (resumindo):
  • Com a escala proposta 1:5 e \omega_{\text{m}}=4\omega_{\text{p}}, o modelo precisaria de cerca de 2{,}05\\ \mathrm{kW} para preservar semelhança dinâmica; o motor de 0{,}5\\ \mathrm{kW} é insuficiente.
  • Para usar exatamente P_{\text{m}}=0{,}5\\ \mathrm{kW} e \omega_{\text{m}}=4\omega_{\text{p}} e ainda obter semelhança dinâmica com P_{\text{p}}=100\\ \mathrm{kW}, o diâmetro do modelo teria de ser tal que D_{\text{m}}/D_{\text{p}}\approx 0{,}1507 (escala linear ~ 1:6{,}64).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{P}{\rho\,\omega^{3}\,D^{5}}=\Phi\!\left(\frac{Q}{\omega\,D^{3}}\right). Portanto Q\propto \omega D^{3} e P\propto \rho\,\omega^{3}\,D^{5}.\n(b) Não atende: com D_{\text{m}}/D_{\text{p}}=1/5 e \omega_{\text{m}}/\omega_{\text{p}}=4 o modelo exigiria P_{\text{m}}\approx 2{,}048\\ \mathrm{kW}, logo 0{,}5\\ \mathrm{kW} é insuficiente. Para que P_{\text{m}}=0{,}5\\ \mathrm{kW}, \omega_{\text{m}}=4\omega_{\text{p}} e P_{\text{p}}=100\\ \mathrm{kW} a escala necessária é D_{\text{m}}/D_{\text{p}}\approx 0{,}1507 (aprox. escala linear 1:6{,}64).

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