Acredita-se que a potência P necessária para acionar um ventilador dependa da massa específica
, da velocidade angular
e da vazão volumétrica Q do ar, bem como do diâmetro D do rotor desse equipamento de fluxo.
a. Determine por análise dimensional a dependência de P aos demais parâmetros (quais as grandezas mais adequadas para serem repetitivas?);
b. Um ventilador adquirido no comércio será utilizado para testes no laboratório, empregando ar para simular um ventilador industrial para insuflamento de ar secundário em caldeira a vapor. Se a escala entre o modelo e o protótipo é de 1:5, se o motor elétrico que aciona o modelo é de
e o protótipo demanda 100 kW e se a velocidade angular do modelo é 4 vezes superior ao do protótipo, verifique se o conjunto motor-ventilador adquirido no comércio atende aos requisitos de semelhança dinâmica com o protótipo a ser utilizado na caldeira; caso não atenda, determine qual a escala necessária nos diâmetros para atender a tais requisitos.
a. Determine por análise dimensional a dependência de P aos demais parâmetros (quais as grandezas mais adequadas para serem repetitivas?);
b. Um ventilador adquirido no comércio será utilizado para testes no laboratório, empregando ar para simular um ventilador industrial para insuflamento de ar secundário em caldeira a vapor. Se a escala entre o modelo e o protótipo é de 1:5, se o motor elétrico que aciona o modelo é de
Passo 1
O enunciado faz duas coisas e nos dá dados explícitos. Vou listar separadamente para ficar clarinho.
Perguntas:
- (a) Determinar por análise dimensional a dependência da potência
em função das outras grandezas (e indicar quais grandezas são boas como repetitivas). - (b) Verificar, para um modelo comprado, se há semelhança dinâmica com o protótipo dado certos números (escala linear, potência do motor do modelo, potência do protótipo e razão angular); se não houver, encontrar a escala nos diâmetros necessária para atender a semelhança.
Dados do enunciado (vou nomear e anotar as dimensões):
- Potência:
com dimensões massa × comprimento² × tempo = . - Massa específica (densidade):
com dimensões . - Velocidade angular:
com dimensões . - Vazão volumétrica:
com dimensões . - Diâmetro do rotor:
com dimensões .
Dados numéricos para a parte (b):
- Escala entre modelo e protótipo:
(ou seja, ). - Potência do motor do modelo:
. - Potência do protótipo:
. - Razão angular:
. - Pressuposição física: o fluido é ar (mesma densidade para modelo e protótipo), e supomos geometria semelhante (geometricamente similar).
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (sem pular etapas): vou aplicar o Teorema de Buckingham
para obter grupos adimensionais. ideia: com
variáveis e
dimensões fundamentais, existem
grupos adimensionais independentes. Aqui temos
variáveis
e
dimensões fundamentais
, então haverá
grupos adimensionais.
Escolha das variáveis repetitivas: preciso escolher
variáveis cujas dimensões sejam independentemente representativas (i.e., que juntas carreguem
). Boas escolhas neste problema são
(contém M e L),
(contém T) e
(contém L). Essas três cobrem
e não são combinacionalmente dependentes, por isso são repetitivas adequadas. Vou justificar:
traz massa/volume (
),
traz tempo (
) e
traz comprimento (
). Então usarei
como repetitivas.
Passo 3
Construção do primeiro grupo adimensional
envolvendo
.
Proponho
onde escolho os expoentes
para que
seja adimensional.
Agora escrevo as dimensões combinadas e imponho que cada potência da base
seja zero.
Dimensões:
Multiplicando:
Para
adimensional, os expoentes devem ser zero:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . Substituindo : .
Portanto
Passo 4
Construção do segundo grupo adimensional
envolvendo
.
Proponho
e faço o mesmo procedimento.
Dimensões:
Exigindo adimensionalidade:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . Com : .
Logo
Passo 5
Escrevendo a relação entre os grupos e interpretando o resultado (resposta da parte a):
O Teorema de Buckingham diz que existe uma relação funcional entre os dois grupos adimensionais:
Interpretação física (em linguagem direta):
-
é o coeficiente de potência (power coefficient). -
é o coeficiente de vazão (flow coefficient).
Se dois ventiladores são geometricamente semelhantes e operam no mesmo ponto adimensional (mesmo), então é o mesmo e obtemos as leis de afinidade (as famosas leis dos ventiladores):
Essas são as dependências que você deve usar na prova: escolha
como repetitivas e obtenha os dois
acima.
Passo 6
Agora aplico as leis de afinidade para verificar a semelhança dinâmica na parte (b).
Primeiro avalio com a escala fornecida
e
. Usando a lei de potência:
Como é ar em ambos,
, então:
Com
a potência exigida no modelo para manter semelhança seria
Mas o motor disponível é
. Conclusão imediata: o conjunto comprado NÃO atende aos requisitos de semelhança dinâmica (o motor é fraco — precisaria de cerca de
para simular o protótipo com a escala
e a razão de velocidades dada).
Passo 7
Calcular a escala necessária nos diâmetros para que, com
e
, o modelo represente o protótipo
.
Partimos da mesma fórmula:
Isolando
:
Substituindo números:
Tirando a quinta raiz:
Isso significa
, ou em escala linear aproximada
(ou seja, modelo deve ter ~15,07% do diâmetro do protótipo).
Passo 8
Interpretação numérica final e observações práticas rápidas (resumindo):
- Com a escala proposta
e , o modelo precisaria de cerca de para preservar semelhança dinâmica; o motor de é insuficiente. - Para usar exatamente
e e ainda obter semelhança dinâmica com , o diâmetro do modelo teria de ser tal que (escala linear ~ ).
Resposta
(a)
. Portanto
e
.\n(b) Não atende: com
e
o modelo exigiria
, logo
é insuficiente. Para que
,
e
a escala necessária é
(aprox. escala linear
).