O teste em modelo é conduzido para determinar as características de um aeromodelo. As grandezas dependentes são a força de arrasto F_{D} e a força de elevação F_{L} atuantes no modelo. As grandezas independentes compreendem o diâmetro D, a velocidade V, a velocidade angular \omega e a altura e das rugosidades do aeromodelo, assim como a massa específica \rho e a viscosidade dinâmica \mu do ar.
a) Determine os parâmetros adimensionais pertinentes e expresse a dependência funcional entre cada uma das grandezas independentes em relação às dependentes.
b) Com base nos resultados anteriores, admita-se que os testes sejam realizados utilizando-se ar em modelo na escala 1:4, que se assume deva ser cinemática e dinamicamente semelhante ao protótipo. Se os valores que se deseja alcançar no protótipo são \mathrm{V}_{\mathrm{p}}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \omega_{\mathrm{p}}=100 \mathrm{rpm}, quais valores de \mathrm{V}_{\mathrm{m}} e \omega_{\mathrm{m}} devem ser utilizados para se garantir a semelhança?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar os parâmetros adimensionais relevantes e expressar a dependência funcional entre as grandezas independentes e as dependentes (força de arrasto F_{D} e força de elevação F_{L}).
  2. Para um modelo em escala 1:4 (ou seja, D_{m} = \tfrac{1}{4}D_{p}), com ar como fluido e supondo semelhança cinemática e dinâmica, determinar os valores de \mathrm{V}_{m} e \omega_{m} que garantam a semelhança quando o protótipo tem \mathrm{V}_{p}=20\\ \mathrm{m/s} e \omega_{p}=100\\ \mathrm{rpm}.
Informações/variáveis dadas (vou listar tudo explicitamente):
\,F_{D} (força de arrasto) — dependente, dimensão \mathrm{M L T^{-2}}.
\,F_{L} (força de elevação) — dependente, dimensão \mathrm{M L T^{-2}}.
Independentes: \,D (diâmetro, dimensão \mathrm{L}), \,V (velocidade, dimensão \mathrm{L T^{-1}}), \,\omega (velocidade angular, dimensão \mathrm{T^{-1}}), \,e (altura das rugosidades, dimensão \mathrm{L}), \,\rho (massa específica do ar, dimensão \mathrm{M L^{-3}}), \,\mu (viscosidade dinâmica do ar, dimensão \mathrm{M L^{-1} T^{-1}}).
Escala do modelo: D_{m}=\tfrac{1}{4}D_{p}. Valores do protótipo: \mathrm{V}_{p}=20\\ \mathrm{m/s}, \omega_{p}=100\\ \mathrm{rpm}. O fluido (ar) é o mesmo no modelo e no protótipo ( \rho e \mu idênticos).

Passo 2

Vamos usar o método de análise dimensional (teorema de Buckingham) passo a passo. Primeiro escrevemos as dimensões das variáveis (em termos das grandezas fundamentais \mathrm{M,L,T}):
\,[F_{D}]=[F_{L}]=\mathrm{M L T^{-2}}.
\,[D]=\mathrm{L}.
\,[V]=\mathrm{L T^{-1}}.
\,[\omega]=\mathrm{T^{-1}}.
\,[e]=\mathrm{L}.
\,[\rho]=\mathrm{M L^{-3}}.
\,[\mu]=\mathrm{M L^{-1} T^{-1}}.
Explicação curta: associamos a cada variável a sua dimensão para poder formar combinações que sejam adimensionais.

Passo 3

Contagem de variáveis e número de grupos \Pi: considerando uma das forças (por exemplo F genérico sendo F_{D} ou F_{L}), temos n=7 variáveis (F,D,V,\omega,e,\rho,\mu). Como as dimensões fundamentais são k=3 ( \mathrm{M,L,T}), pelo teorema de Buckingham o número de grupos adimensionais é n-k=7-3=4. Portanto devemos obter 4 grupos adimensionais independentes.

Passo 4

Escolha das variáveis repetidas (padrão razoável para problemas fluidodinâmicos): vou tomar como repetidas \,D (comprimento característico), \,V (velocidade caracteristica) e \,\rho (densidade). Justificativa informal: elas cobrem as três dimensões \mathrm{M,L,T} e são fisicamente relevantes (típico em fluido para construir números adimensionais).

Passo 5

Construção do primeiro grupo adimensional [\Pi_{1}) envolvendo a força F. Queremos uma combinação do tipo \Pi_{1}=F\,\rho^{a}V^{b}D^{c} que seja adimensional. Escrevemos as dimensões e igualamos a 1:
Dimensões de F\,\rho^{a}V^{b}D^{c}:
\mathrm{M}^{1+a}\,\mathrm{L}^{1-3a+b+c}\,\mathrm{T}^{-2-b}.
Para ser adimensional os expoentes devem ser zero:
Resolver o sistema
\begin{cases} 1+a=0\\\\ -2-b=0\\\\ 1-3a+b+c=0 \end{cases}
Da primeira: a=-1\]. Da segunda: \(b=-2. Substituindo na terceira: 1-3(-1)+(-2)+c=0 \Rightarrow 1+3-2+c=0 \Rightarrow 2+c=0 \Rightarrow c=-2.
Logo
\Pi_{1}=\frac{F}{\rho V^{2} D^{2}}.
Interpretação física: \Pi_{1} é proporcional ao coeficiente adimensional da força. Em aerodinâmica frequentemente usamos o coeficiente com o fator 1/2 (pressão dinâmica), isto é, define-se por convenção o coeficiente de arrasto
C_{D}=\frac{F_{D}}{\tfrac{1}{2}\rho V^{2} D^{2}}
e o coeficiente de sustentação
C_{L}=\frac{F_{L}}{\tfrac{1}{2}\rho V^{2} D^{2}}.
A diferença é apenas um fator constante 1/2; a estrutura adimensional é a mesma. Vou continuar usando \Pi_{1}=F/(\rho V^{2} D^{2}) porque é algebraicamente mais simples, mas fique sabendo que C convencional = 2\Pi_{1}.

Passo 6

Construção do segundo grupo: incluir \mu. Uma escolha natural é formar o número de Reynolds \mathrm{Re}. Tomamos
\Pi_{2}=\frac{\rho V D}{\mu}.
Verificação rápida: dimensões de \rho V D são \mathrm{M L^{-3}}\cdot \mathrm{L T^{-1}}\cdot \mathrm{L}=\mathrm{M L^{-1} T^{-1}}, que divide \mu (mesmas dimensões), logo adimensional. Interpretação: \mathrm{Re} quantifica a razão entre termos de inércia e viscosidade no escoamento; é central para semelhança cinemática.

Passo 7

Terceiro grupo óbvio: rugosidade adimensional. Como temos e e D (ambos comprimento), o grupo é
\Pi_{3}=\frac{e}{D}.
Interpretação: razão da altura das rugosidades ao diâmetro; influencia a camada limite e, portanto, as forças.

Passo 8

Quarto grupo: combinação com \omega. A grandeza natural que aparece combinando \omega, D e V é
\Pi_{4}=\frac{\omega D}{V}.
Interpretação física: \Pi_{4} é a razão entre a velocidade tangencial de ponta ( \omega D) e a velocidade de avanço V. É a medida adimensional da velocidade de rotação em relação à velocidade de avanço — importante quando há efeitos rotacionais (hélices, pás, ou partes girantes).

Passo 9

Conclusão da parte (a): Podemos escrever as dependências funcionais para as duas forças. Usando \Pi_{1} como coeficiente adimensional de força, obtemos para arrasto e sustentação respectivamente:
\frac{F_{D}}{\rho V^{2} D^{2}} = f_{D}\!\left(\mathrm{Re},\frac{e}{D},\frac{\omega D}{V}\right),
\frac{F_{L}}{\rho V^{2} D^{2}} = f_{L}\!\left(\mathrm{Re},\frac{e}{D},\frac{\omega D}{V}\right).
Ou, usando a convenção comum com 1/2, equivalentemente:
C_{D}=f_{D}\!\left(\mathrm{Re},\frac{e}{D},\frac{\omega D}{V}\right),\qquad C_{L}=f_{L}\!\left(\mathrm{Re},\frac{e}{D},\frac{\omega D}{V}\right).
Comentário didático: isso diz que, para fins de semelhança dinâmica, não precisamos igualar todas as variáveis físicas separadamente — basta igualar os grupos adimensionais listados. Se esses grupos forem os mesmos para modelo e protótipo, as forças adimensionais coincidirão e então as forças reais escalam conforme a relação dimensional.

Passo 10

Parte (b): semelhança entre modelo e protótipo em escala \lambda=\tfrac{D_{m}}{D_{p}}=\tfrac{1}{4}. Como o fluido é o mesmo, \rho_{m}=\rho_{p} e \mu_{m}=\mu_{p}. Para semelhança cinemática e dinâmica precisamos igualar os grupos adimensionais relevantes: \mathrm{Re}_{m}=\mathrm{Re}_{p}, (e/D)_{m}=(e/D)_{p} (isto é automático se a rugosidade for geometricamente escalada), e (\omega D / V)_{m}=(\omega D / V)_{p}.

Passo 11

Igualando os Reynolds:
\mathrm{Re}_{m}=\mathrm{Re}_{p}\quad\Rightarrow\quad \frac{\rho V_{m} D_{m}}{\mu}=\frac{\rho V_{p} D_{p}}{\mu}.
Cancelando \rho/\mu:
V_{m} D_{m}=V_{p} D_{p}.
Como D_{m}=\tfrac{1}{4}D_{p}, temos
V_{m}\cdot\frac{1}{4}D_{p}=V_{p}D_{p}\quad\Rightarrow\quad V_{m}=4V_{p}.
Substituindo o valor numérico \,V_{p}=20\\ \mathrm{m/s}:
V_{m}=4\cdot 20\\ \mathrm{m/s}=80\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: para manter o mesmo número de Reynolds em um modelo menor (1/4), é necessário aumentar a velocidade em fator igual ao inverso da escala linear (aqui 4) — por isso modelos pequenos frequentemente exigem velocidades maiores para manter Re.

Passo 12

Agora igualando o grupo rotacional \Pi_{4}:
\frac{\omega_{m} D_{m}}{V_{m}}=\frac{\omega_{p} D_{p}}{V_{p}}.
Isolando \omega_{m}:
\omega_{m}=\omega_{p}\,\frac{D_{p}}{D_{m}}\,\frac{V_{m}}{V_{p}}.
Substituindo D_{p}/D_{m}=4 (inverso da escala) e V_{m}/V_{p}=4 (do passo anterior):
\omega_{m}=\omega_{p}\cdot 4\cdot 4=16\,\omega_{p}.
Com \omega_{p}=100\\ \mathrm{rpm}:
\omega_{m}=16\cdot 100\\ \mathrm{rpm}=1600\\ \mathrm{rpm}.
Observação: como os grupos são adimensionais, podemos usar rpm diretamente para as razões (porque as unidades de tempo se cancelam nas razões). Se quiser em \mathrm{rad/s}, converta \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s} antes, mas o fator 16 permanece.

Resposta

\mathrm{V}_{m}=80\\ \mathrm{m/s}\n \omega_{m}=1600\\ \mathrm{rpm}

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