Compare as estimativas do coeficiente de difusão de uma mistura etanol-água na temperatura de 10^{\circ} \mathrm{C}, assumindo as seguintes situações: água como soluto e etanol como solvente. Compare os valores para a difusividade dos dois sistemas e discuta.
À 10^{\circ} \mathrm{C}, a viscosidade da água 1,306 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}(1,306 \mathrm{cP}), enquanto que a do etanol é 1,394 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}(1,394 \mathrm{cP}). (Dados: Mágua =18 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e \mathrm{M}_{\text {etanol }}=46 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ).

Passo 1

O que o enunciado pede: comparar estimativas do coeficiente de difusão para a mistura etanol–água à 10^\circ\mathrm{C} nas duas situações alternativas (a) água como soluto e etanol como solvente; (b) etanol como soluto e água como solvente. Também pedir para discutir os valores obtidos.
Dados fornecidos pelo enunciado:
\eta_{\text{água}} = 1{,}306\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\qquad \eta_{\text{etanol}} = 1{,}394\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},á
M_{\text{água}} = 18\\ \mathrm{g/mol},\qquad M_{\text{etanol}} = 46\\ \mathrm{g/mol}, \qquad T=10^\circ\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K}.á
Informações que vou precisar e assunções (declaro explicitamente):
  • Vou estimar o raio hidrodinâmico das moléculas a partir do volume molar \;V_m=M/\rho\; e da suposição de que cada molécula ocupa um volume esférico efetivo. Para isso preciso das densidades puras à 10^\circ\mathrm{C}. Tomarei valores razoáveis e os apresento como aproximações:
\rho_{\text{água}}(10^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}9997\\ \mathrm{g/cm^3}, \qquad \rho_{\text{etanol}}(10^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}806\\ \mathrm{g/cm^3}.á
Essas densidades são aproximações padrão; se você tiver outros valores experimentais, o procedimento é o mesmo.
  • Vou usar a relação de Stokes–Einstein (aplicada de forma aproximada a moléculas em líquidos) para estimar a difusividade:
D=\frac{k_B T}{6\pi \eta r},
onde explicarei cada termo no passo seguinte.

Passo 2

Apresentando a fórmula escolhida e justificativa:
  • Método escolhido: fórmula de Stokes–Einstein. Justificativa: o enunciado não exige um método específico; para estimativa rápida e didática usamos Stokes–Einstein porque é simples, usa viscosidade do solvente e um raio efetivo do soluto, e fornece valores na ordem de grandeza correta para moléculas em líquidos. Alternativas (ex.: correlações empíricas tipo Wilke–Chang) também existem e darão resultados de mesma ordem; escolhi Stokes–Einstein por ser mais elementar e mostrar a dependência de \eta e r.
  • Explicação da fórmula:
D=\frac{k_B T}{6\pi \eta r},
onde
k_B
é a constante de Boltzmann ( k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}), T é a temperatura absoluta em kelvin, \eta é a viscosidade do solvente (em \mathrm{Pa\cdot s}), e r é o raio hidrodinâmico do soluto (em metros). A fórmula mostra que D aumenta com a temperatura e diminui com a viscosidade e com o tamanho da partícula.

Passo 3

Estimativa do raio hidrodinâmico a partir do volume molar:
  • Volume molar (em \mathrm{cm^3/mol}):
V_m=\frac{M}{\rho}.
Calculando para a água:
V_{m,\text{água}}=\frac{18\\ \mathrm{g/mol}}{0{,}9997\\ \mathrm{g/cm^3}} \approx 18{,}005\\ \mathrm{cm^3/mol}.á
Para o etanol:
V_{m,\text{etanol}}=\frac{46\\ \mathrm{g/mol}}{0{,}806\\ \mathrm{g/cm^3}} \approx 57{,}07\\ \mathrm{cm^3/mol}.
  • Converter para volume por molécula (em \mathrm{m^3}):
v=\frac{V_m}{N_A},
com N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Para a água:
v_{\text{água}}=\frac{18{,}005\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}}{6{,}022\times10^{23}}\approx 2{,}989\times10^{-29}\\ \mathrm{m^3}.á
Para o etanol:
v_{\text{etanol}}=\frac{57{,}07\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}}{6{,}022\times10^{23}}\approx 9{,}479\times10^{-29}\\ \mathrm{m^3}.
  • Assumindo volume esférico efetivo por molécula, o raio é
r=\left(\frac{3v}{4\pi}\right)^{1/3}.
Calculando:
Para a água:
r_{\text{água}}=\left(\frac{3\cdot 2{,}989\times10^{-29}}{4\pi}\right)^{1/3}\approx 1{,}92\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.á
Para o etanol:
r_{\text{etanol}}=\left(\frac{3\cdot 9{,}479\times10^{-29}}{4\pi}\right)^{1/3}\approx 2{,}81\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: os raios obtidos são “raios efetivos” que levam em conta o volume molecular médio no líquido — não são raios atômicos; servem para usar em uma ordem de grandeza na fórmula de Stokes–Einstein.

Passo 4

Cálculo de k_B T (numerador da fórmula):
k_B T = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\times 283{,}15\\ \mathrm{K} \approx 3{,}909\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Estimativa de D para água como soluto em etanol (solvente = etanol):
  • Use \eta=\eta_{\text{etanol}}=1{,}394\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e r=r_{\text{água}}=1{,}92\times10^{-10}\\ \mathrm{m}á.
  • Denominador:
6\pi\eta r = 6\pi\cdot(1{,}394\times10^{-3})\cdot(1{,}92\times10^{-10}) \approx 5{,}04\times10^{-12}\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Portanto
D_{\text{água in etanol}}=\frac{3{,}909\times10^{-21}}{5{,}04\times10^{-12}} \approx 7{,}8\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}.á

Passo 6

Estimativa de D para etanol como soluto em água (solvente = água):
  • Use \eta=\eta_{\text{água}}=1{,}306\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}á e r=r_{\text{etanol}}=2{,}81\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Denominador:
6\pi\eta r = 6\pi\cdot(1{,}306\times10^{-3})\cdot(2{,}81\times10^{-10}) \approx 6{,}92\times10^{-12}\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Portanto
D_{\text{etanol in água}}=\frac{3{,}909\times10^{-21}}{6{,}92\times10^{-12}} \approx 5{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}.á

Passo 7

Comparação e discussão qualitativa:
  • Valores obtidos:
D_{\text{água in etanol}}\approx 7{,}8\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}, \qquad D_{\text{etanol in água}}\approx 5{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}.áá
  • Interpretação física: embora a viscosidade do etanol seja ligeiramente maior que a da água (o que tenderia a reduzir D quando o solvente é etanol), a água como soluto é uma molécula consideravelmente menor que o etanol; esse menor raio hidrodinâmico domina a razão e faz com que a água difunda mais rapidamente no etanol do que o etanol no água. A razão entre os coeficientes calculados é aproximadamente 7{,}8/5{,}6\approx 1{,}4: água difunde cerca de 40\% mais rápido neste modelo.
  • Limitações e observações práticas:
    • Stokes–Einstein é uma aproximação hidrodinâmica; para moléculas pequenas em líquidos puros há desvios, interações específicas (ligações de hidrogênio, solvatacão) e efeitos de tamanho efetivo que podem alterar os números reais. Correlações empíricas (Wilke–Chang, Darken, experimentais) costumam ser usadas para obter valores experimentais mais precisos.
    • Apesar das limitações, os valores estão na ordem de 10^{-10} a 10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s}, que é a ordem de grandeza típica para difusão molecular em líquidos à temperatura considerada.
    • Se você precisar de maior precisão para prova ou trabalho, pode usar a correlação de Wilke–Chang ou buscar dados experimentais; o raciocínio sobre dependência em \eta e r permanece válido e é o ponto conceitual importante.

Resposta

D_{\text{água em etanol}}\approx 7{,}8\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}á
D_{\text{etanol em água}}\approx 5{,}6\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}á

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