( 1,5 pts ) Determine o sinal y(t) correspondente à saída de um dado sistema contínuo linear e invariante no tempo que possui sua representação no domínio de Laplace dada por:
Y(s)=2 s^2-2 s-6(s+1)(s-1)(s+2) Res>1

Passo 1

Temos a transformada de Laplace Y(s) de um sistema LTI contínuo e queremos encontrar o sinal de saída y(t). O assunto principal é a transformada inversa de Laplace, e para isso vamos usar decomposição em frações parciais e a região de convergência fornecida para definir causalidade.

Passo 2

Observamos que o denominador de Y(s) se fatoriza como (s-1)(s+1)(s+2), então escrevemos:
Y(s)=As-1+Bs+1+Cs+2

Passo 3

Para determinar A, B e C, usamos o método dos resíduos (avaliar em cada polo):
A=2s^2-2s-6(s+1)(s+2)|s=1=-1

Passo 4

B=2s^2-2s-6(s-1)(s+2)|s=-1=1

Passo 5

C=2s^2-2s-6(s-1)(s+1)|s=-2=2

Passo 6

Substituindo esses valores em Y(s) e lembrando que a região de convergência é Res>1 (logo o sinal é causal), temos:
Y(s)=-1s-1+1s+1+2s+2

Passo 7

Usamos a transformada inversa padrão L^-11/(s-a)=e^atu(t). Aplicando termo a termo, obtemos:
y(t)=-e^tu(t)+e^-tu(t)+2e^-2tu(t)

Resposta

y(t)=l(-e^t+e^-t+2e^-2tr),u(t)

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