(2,0 pts) Encontre a solução do seguinte Problema de Valor Inicial:
y^prime+2 y=t e^-2 t, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o Problema de Valor Inicial
y'(t) + 2,y(t) = t,e^-2t, y(1)=0
Este é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Calcular o fator integrante
mu(t) = e^integral 2,dt = e^2t

Passo 3

Multiplicar a EDO por mu(t), obtendo
e^2ty' + 2e^2ty = t,e^-2te^2t
ou seja
ddtl(y,e^2tr) = t

Passo 4

Integrar ambos os lados em t:
integral ddtl(y,e^2tr),dt = integral t,dt
resultando em
y,e^2t = t^22 + C,
onde C é constante de integração. Logo a solução geral é
y(t) = e^-2tl(t^22 + Cr)

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(1)=0:
0 = e^-2l(tfrac1^22 + Cr) Longrightarrow tfrac12 + C = 0 Longrightarrow C = -tfrac12

Passo 6

Substituindo C na solução geral, obtemos a solução particular
y(t) = e^-2tl(tfract^22 - tfrac12r) = t^2 - 12,e^-2t

Resposta

y(t) = t^2 - 12,e^-2t

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