( 0,5 pts ) Em engenharia elétrica/eletrônica alguns sistemas lineares podem ser caracterizados usando equações diferenciais. Seja um sistema linear definido pela equação diferencial com condições iniciais nulas dado por:
3 d y(t)d t+2 y(t)=2 x(t)
em que x(t) representa a entrada do sistema e y(t) sua respectiva saída; ambas em função do tempo e definidas apenas para t >= 0.
Para x(t)=de, determine: A saída y(t) do sistema.

Passo 1

Vamos resolver um sistema linear de primeira ordem descrito pela EDO 3 dy(t)dt + 2 y(t) = 2 x(t) com entrada x(t)=de e condições iniciais nulas. O conteúdo envolve equações diferenciais e transformada de Laplace para encontrar a resposta ao impulso.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Como as condições iniciais são nulas, y(0^-)=0. Assim, usando Ly'(t) = sY(s) - y(0^-), temos:
3l(sY(s) - 0r) + 2Y(s) = 2cdot 1
Fatoramos Y(s) na equação para isolar sua expressão:
Y(s)l(3s + 2r) = 2
Logo,
Y(s) = 23s + 2

Passo 3

Reconhecemos que 1s + a no domínio de s vira e^-atu(t). Ajustando constantes:
Y(s) = 23cdot 1s + tfrac23

Passo 4

Fazendo a transformada inversa de Laplace, obtemos a resposta ao impulso:
y(t) = 23e^-tfrac23tu(t)

Resposta

y(t)=23e^-tfrac23tu(t)

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