( 1,5 pts ) Um sistema contínuo, linear, invariante no tempo e causal tem resposta ao degrau unitário dada por
. Para um sinal de entrada
desconhecido, sabe-se que a saída desse mesmo sistema é dada por
.
Determine
sinal de entrada
.
Determine
Passo 1
O enunciado diz que o sistema é LTI, causal e contínuo, e que sua resposta ao degrau unitário é
Além disso, para uma entrada desconhecida
Queremos encontrar
. Vamos precisar usar a transformada de Laplace, a relação entre resposta ao degrau e função impulso, e a propriedade de convolução.
Passo 2
Primeiro encontramos a transformada de Laplace de
. Como
temos
Passo 3
Sabendo que a resposta ao degrau
satisfaz
, obtemos a função de transferência
$$H(s)=s,Y_{1}(s)=s\Bigl(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} - \frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr).
Passo 4
Agora calculamos a transformada de Laplace de
:
então
Passo 5
Como em regime LTI vale
, temos
$$X(s)=\frac{Y_{2}(s)}{H(s)}=Y_{2}(s),(s+1)^{2}.
Passo 6
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace em
:
$$X(s)=\frac{3}{s+2}\quad\longrightarrow\quad 3e^{-2t}u(t).
$$
Somando, chega-se ao sinal de entrada.
Somando, chega-se ao sinal de entrada.