(1,0 pts.) Uma fábrica de peças automotivas está analisando o desempenho de sua equipe. Em cinco dias diferentes foram registrados valores de horas trabalhadas (X) e quantidade de peças produzidas (Y). A ordem de registro não está necessariamente organizada, mas os pares corretos são:
  • 2 horas \rightarrow 80 peças
  • Em um dos dias seguintes foram produzidas 160 peças, correspondendo ao mesmo dia em que trabalharam 4 horas.
  • Houve um dia em que a equipe trabalhou 10 horas e produziu 400 peças.
  • No dia de 8 horas de trabalho, a produção ficou 80 peças acima do dia de 6 horas.
  • No outro dia restante foram 6 horas \rightarrow 240 peças.
Com essas informações:
a) Organize corretamente os pares ( X, Y ) antes de iniciar a regressão.
b) Construa a equação da reta de regressão baseado nos cálculos de \beta_{0} e \beta_{1}.
c) Estime a produção quando a equipe trabalha 5 horas.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Organizar corretamente os pares (X,Y) dos cinco dias.
  • (b) Construir a equação da reta de regressão obtendo \beta_{0} e \beta_{1}.
  • (c) Estimar a produção quando X=5 horas.
Informações fornecidas (listadas explicitamente no enunciado):
  • Um dia: 2 horas \rightarrow 80 peças.
  • Um dia: 4 horas \rightarrow 160 peças.
  • Um dia: 10 horas \rightarrow 400 peças.
  • Em um dia de 8 horas, a produção foi 80 peças acima do dia de 6 horas.
  • No outro dia restante: 6 horas \rightarrow 240 peças.

Passo 2

Organizar os pares usando as informações dadas. O enunciado me deu explicitamente os pares:
  • (2,80)
  • (4,160)
  • (10,400)
  • (6,240) (informação direta)
    Além disso foi dito que no dia de 8 horas a produção foi 80 peças acima do dia de 6 horas. Peguei o dado do par (6,240) (informação do enunciado) e calculei a produção no dia de 8 horas:
320 = 240 + 80.
Logo o par faltante é (8,320).
Portanto os cinco pares organizados são:
(2,80),\\ (4,160),\\ (6,240),\\ (8,320),\\ (10,400).

Passo 3

Agora vamos construir a reta de regressão linear simples. Primeiro ensino as fórmulas básicas e o que cada símbolo significa:
  • A reta de regressão estimada tem a forma
\hat{Y}=\beta_{0}+\beta_{1}X,
onde \beta_{1} é a inclinação (quanto a produção muda por hora trabalhada) e \beta_{0} é o intercepto (valor estimado de Y quando X=0).
  • Para estimadores por mínimos quadrados, usamos
\beta_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}}, \qquad \beta_{0}=\bar{Y}-\beta_{1}\bar{X},
onde \bar{X} é a média amostral de X e \bar{Y} é a média amostral de Y.
Vou calcular \bar{X} e \bar{Y} usando os cinco pares que organizei (peguei esses pares das informações do enunciado).

Passo 4

Cálculo das médias:
Valores de X: 2,4,6,8,10.
\bar{X}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6.
Valores de Y: 80,160,240,320,400.
\bar{Y}=\frac{80+160+240+320+400}{5}=\frac{1200}{5}=240.
Expliquei: \bar{X} é a média aritmética das horas; \bar{Y} é a média aritmética das peças.

Passo 5

Cálculo do numerador de \beta_{1}: \sum (X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y}).
Faço tabela mental dos desvios e produtos (cada linha é um par):
  • Para X=2, X_{i}-\bar{X}=2-6=-4. Para Y=80, Y_{i}-\bar{Y}=80-240=-160. Produto: (-4)\cdot(-160)=640.
  • Para X=4, X_{i}-\bar{X}=4-6=-2. Para Y=160, Y_{i}-\bar{Y}=160-240=-80. Produto: (-2)\cdot(-80)=160.
  • Para X=6, desvios 0 e 0. Produto: 0.
  • Para X=8, X_{i}-\bar{X}=2. Para Y=320, Y_{i}-\bar{Y}=80. Produto: 2\cdot80=160.
  • Para X=10, X_{i}-\bar{X}=4. Para Y=400, Y_{i}-\bar{Y}=160. Produto: 4\cdot160=640.
Somando esses produtos:
\sum_{i=1}^{5}(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})=640+160+0+160+640=1600.

Passo 6

Cálculo do denominador de \beta_{1}: \sum (X_{i}-\bar{X})^{2}.
Usando os mesmos desvios de X:
  • (-4)^{2}=16.
  • (-2)^{2}=4.
  • 0^{2}=0.
  • 2^{2}=4.
  • 4^{2}=16.
Somando:
\sum_{i=1}^{5}(X_{i}-\bar{X})^{2}=16+4+0+4+16=40.

Passo 7

Calcular \beta_{1} e \beta_{0}:
\beta_{1}=\frac{1600}{40}=40.
\beta_{0}=\bar{Y}-\beta_{1}\bar{X}=240-40\cdot 6=240-240=0.
Explicação interpretativa curta: \beta_{1}=40 significa que, segundo a regressão, cada hora adicional de trabalho aumenta a produção em 40 peças; \beta_{0}=0 indica que a reta passa pela origem (quando X=0, estimativa de Y é 0) — neste conjunto os pontos caem exatamente numa linha reta.

Passo 8

Escrever a equação da reta de regressão e estimar para X=5.
A equação é
\hat{Y}=\beta_{0}+\beta_{1}X=0+40X,
isto é,
\hat{Y}=40X.
Para X=5 horas:
\hat{Y}=40\cdot 5=200.
Interpretação: a produção estimada para 5 horas de trabalho é 200 peças.

Resposta

a) (2,80),\\ (4,160),\\ (6,240),\\ (8,320),\\ (10,400)
b) \hat{Y}=40X
c) \hat{Y}(5)=200

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