( 2,0 pts.) Uma indústria afirma que o tempo médio necessário para ajustar uma máquina CNC é 12 minutos, valor estabelecido há anos, antes de recentes alterações no processo. O engenheiro responsável suspeita que esse tempo pode ter mudado, possivelmente aumentando, porém, devido a uma reorganização no turno, também não descarta que tenha diminuido.
Uma amostra aleatória de 30 ajustes resultou em:
- média amostral: 13,2 minutos
- desvio padrão amostral: 3 minutos.
Apesar da possível variabilidade recente, assuma que o tempo segue distribuição aproximadamente normal, com nivel de confiança de
. Com base nessas informações:
a) Escolha e justifique qual teste de hipóteses deve ser aplicado (unilateral ou bilateral). Explique por que não se deve usar teste
.
b) Calcule a estatística de teste adequada.
c) Calcule o valor-P, especificando se é unilateral ou bilateral.
d) Compare a decisão tomada pela estatística de teste com a obtida pelo valor-P. Caso haja divergência aparente, explique o motivo.
Uma amostra aleatória de 30 ajustes resultou em:
a) Escolha e justifique qual teste de hipóteses deve ser aplicado (unilateral ou bilateral). Explique por que não se deve usar teste
b) Calcule a estatística de teste adequada.
c) Calcule o valor-P, especificando se é unilateral ou bilateral.
d) Compare a decisão tomada pela estatística de teste com a obtida pelo valor-P. Caso haja divergência aparente, explique o motivo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações fornecidas:
- Tempo médio histórico (hipótese nula):
minutos. - Amostra aleatória de tamanho
. - Média amostral:
minutos. - Desvio padrão amostral:
minutos. - Assuma distribuição aproximadamente normal.
- Nível de confiança (interpretado como nível de significância) desejado:
→ .
O enunciado pede:
a) escolher e justificar o tipo de teste (unilateral ou bilateral) e explicar por que não usar teste ;
b) calcular a estatística de teste adequada;
c) calcular o valor-P, indicando se é unilateral ou bilateral;
d) comparar a decisão com a obtida pelo valor-P e explicar caso haja divergência.
a) escolher e justificar o tipo de teste (unilateral ou bilateral) e explicar por que não usar teste
b) calcular a estatística de teste adequada;
c) calcular o valor-P, indicando se é unilateral ou bilateral;
d) comparar a decisão com a obtida pelo valor-P e explicar caso haja divergência.
Passo 2
Definição das hipóteses e escolha entre unilateral/bilateral (explicação didática).
-
O engenheiro “suspeita que esse tempo pode ter mudado, possivelmente aumentando, porém … também não descarta que tenha diminuído.”
Isso significa que a suspeita é de mudança em qualquer direção (pode aumentar ou diminuir). Quando a alternativa admite mudança em ambas as direções, devemos usar um teste bilateral (duas caudas). -
Escrever as hipóteses:
Explicação didática curta sobre unilateral vs bilateral:
- Teste unilateral (uma cauda) é usado quando a hipótese alternativa afirma mudança apenas em uma direção (por exemplo,
ou ). - Teste bilateral (duas caudas) é usado quando a alternativa é “diferente” (sem direção especificada), isto é,
.
Aqui a alternativa é sem direção, logo usamos teste bilateral.
Passo 3
Por que não usar teste
(explicação didática sobre
vs
).
- O teste
para média é apropriado quando o desvio-padrão populacional é conhecido ou quando é grande e pode-se substituir por com pouca perda. - No enunciado o desvio padrão populacional não é dado; temos apenas o desvio amostral
. Portanto precisamos levar em conta a incerteza adicional introduzida por . - Quando
é desconhecido e a amostra é de tamanho moderado (aqui — limite onde muitos professores preferem ), o procedimento correto é usar a distribuição de Student com graus de liberdade. A distribuição tem caudas mais pesadas que a normal, o que reflete a incerteza extra por estimar .
Conclusão: usar teste
bilateral com
.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste (explicação didática do que cada termo significa).
A estatística
para testar média quando
é desconhecido é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é a média sob (aqui ); -
é o desvio-padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média (estima a variabilidade da média amostral).
A estatísticasegue, sob , a distribuição com .
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo da estatística
.
- Diferença entre média amostral e média sob
:
- Erro padrão da média:
- Estatística
:
Arredondando razoavelmente:
. Esta é a estatística de teste calculada.
Passo 6
Decisão pelo valor crítico (explicação didática de região crítica).
- Para um teste bilateral com
e , os pontos críticos simétricos são . - Valor tabelado:
. (Isto significa que .)
Regra de decisão:
- Rejeitar
se . - Aqui
e , logo rejeitamos ao nível .
Interpretação sucinta: há evidência estatística suficiente, ao nível de
, de que a média difere de
minutos.
Passo 7
Cálculo do valor-P (explicação do que é e como se obtém).
- Definição didática: o valor-P é a probabilidade, sob
, de observar uma estatística de teste tão extrema quanto a observada (ou mais extrema). Para teste bilateral:
- Usando
e a distribuição com graus de liberdade, obtém-se:
(onde
é a probabilidade de uma cauda além de
em
.)
- Arredondando:
. Este valor-P é para o teste bilateral.
Observação pedagógica: se alguém usasse a distribuição normal
em vez da
, obteria um valor-P menor (aprox.
), porque a normal tem caudas menos pesadas; isso é uma razão a mais para preferir
quando
é desconhecida.
Passo 8
Comparação entre a decisão pela estatística de teste e pela regra do valor-P; explicação se houver divergência.
- Pela estatística crítica (Passo 6): como
, rejeita-se ao nível . - Pelo valor-P (Passo 7):
, portanto também rejeita-se ao nível .
Conclusão: não há divergência — ambas as abordagens levam à mesma decisão de rejeitar
.
Explicação sobre possíveis divergências gerais (não ocorrida aqui):
- Em geral, se
então rejeita-se; se então não rejeita-se. Decisões diferentes só aparecem se houver erro de cálculo ou se, por exemplo, alguém usar (normal) em vez da , o que pode alterar ligeiramente o valor-P; com pequeno a diferença pode mudar a decisão em casos limítrofes. Neste problema, mesmo usando corretamente, o resultado é claro (rejeitar).
Resposta
a) Teste bilateral (duas caudas):
vs
. Não usar teste
porque
populacional é desconhecida; com
estimando
deve-se usar o teste
de Student com
.
b) Estatística de teste: .
c) Valor-P (bilateral): (teste bilateral).
d) Decisão: rejeita-se ao nível
(pois
e
). Não há divergência; ambas as abordagens concordam.
b) Estatística de teste:
c) Valor-P (bilateral):
d) Decisão: rejeita-se