( 2,0 pts.) Uma indústria afirma que o tempo médio necessário para ajustar uma máquina CNC é 12 minutos, valor estabelecido há anos, antes de recentes alterações no processo. O engenheiro responsável suspeita que esse tempo pode ter mudado, possivelmente aumentando, porém, devido a uma reorganização no turno, também não descarta que tenha diminuido.
Uma amostra aleatória de 30 ajustes resultou em:
  • média amostral: 13,2 minutos
  • desvio padrão amostral: 3 minutos.
Apesar da possível variabilidade recente, assuma que o tempo segue distribuição aproximadamente normal, com nivel de confiança de 95 \%. Com base nessas informações:
a) Escolha e justifique qual teste de hipóteses deve ser aplicado (unilateral ou bilateral). Explique por que não se deve usar teste \mathbf{z}.
b) Calcule a estatística de teste adequada.
c) Calcule o valor-P, especificando se é unilateral ou bilateral.
d) Compare a decisão tomada pela estatística de teste com a obtida pelo valor-P. Caso haja divergência aparente, explique o motivo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações fornecidas:
  • Tempo médio histórico (hipótese nula): \mu_0 = 12 minutos.
  • Amostra aleatória de tamanho n = 30.
  • Média amostral: \bar{x}=13,2 minutos.
  • Desvio padrão amostral: s=3 minutos.
  • Assuma distribuição aproximadamente normal.
  • Nível de confiança (interpretado como nível de significância) desejado: 95\% \alpha = 0,05.
O enunciado pede:
a) escolher e justificar o tipo de teste (unilateral ou bilateral) e explicar por que não usar teste \mathbf{z};
b) calcular a estatística de teste adequada;
c) calcular o valor-P, indicando se é unilateral ou bilateral;
d) comparar a decisão com a obtida pelo valor-P e explicar caso haja divergência.

Passo 2

Definição das hipóteses e escolha entre unilateral/bilateral (explicação didática).
  • O engenheiro “suspeita que esse tempo pode ter mudado, possivelmente aumentando, porém … também não descarta que tenha diminuído.”
    Isso significa que a suspeita é de mudança em qualquer direção (pode aumentar ou diminuir). Quando a alternativa admite mudança em ambas as direções, devemos usar um teste bilateral (duas caudas).
  • Escrever as hipóteses:
H_0:\\ \mu = 12
H_1:\\ \mu \neq 12
Explicação didática curta sobre unilateral vs bilateral:
  • Teste unilateral (uma cauda) é usado quando a hipótese alternativa afirma mudança apenas em uma direção (por exemplo, \mu>12 ou \mu<12).
  • Teste bilateral (duas caudas) é usado quando a alternativa é “diferente” (sem direção especificada), isto é, \mu\neq\mu_0.
    Aqui a alternativa é sem direção, logo usamos teste bilateral.

Passo 3

Por que não usar teste z (explicação didática sobre z vs t).
  • O teste z para média é apropriado quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido ou quando n é grande e pode-se substituir s por \sigma com pouca perda.
  • No enunciado o desvio padrão populacional não é dado; temos apenas o desvio amostral s. Portanto precisamos levar em conta a incerteza adicional introduzida por s.
  • Quando \sigma é desconhecido e a amostra é de tamanho moderado (aqui n=30 — limite onde muitos professores preferem t), o procedimento correto é usar a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A distribuição t tem caudas mais pesadas que a normal, o que reflete a incerteza extra por estimar \sigma.
Conclusão: usar teste t bilateral com df=n-1=29.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste (explicação didática do que cada termo significa).
A estatística t para testar média quando \sigma é desconhecido é:
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=13,2);
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=12);
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=3);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=30);
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (estima a variabilidade da média amostral).
    A estatística t segue, sob H_0, a distribuição t com df=n-1=29.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo da estatística t.
  1. Diferença entre média amostral e média sob H_0:
\bar{x}-\mu_0 = 13,2 - 12 = 1,2.
  1. Erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{30}\approx 5,4772256,
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{30}} \approx 0,5477226.
  1. Estatística t:
t = \frac{1,2}{0,5477226} \approx 2,1926.
Arredondando razoavelmente: t \approx 2,19. Esta é a estatística de teste calculada.

Passo 6

Decisão pelo valor crítico (explicação didática de região crítica).
  • Para um teste bilateral com \alpha=0,05 e df=29, os pontos críticos simétricos são \pm t_{0{,}975;\,29}.
  • Valor tabelado: t_{0{,}975;\,29}\approx 2,045. (Isto significa que P(T_{29}>2,045)=0,025.)
Regra de decisão:
  • Rejeitar H_0 se |t|\ge t_{0{,}975;\,29}.
  • Aqui |t| \approx 2,19 e 2,19 > 2,045, logo rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.
Interpretação sucinta: há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, de que a média difere de 12 minutos.

Passo 7

Cálculo do valor-P (explicação do que é e como se obtém).
  • Definição didática: o valor-P é a probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística de teste tão extrema quanto a observada (ou mais extrema). Para teste bilateral:
\text{valor-P} = 2\cdot P\big(T_{29} \ge |t_{\text{obs}}|\big).
  • Usando t_{\text{obs}}\approx 2,1926 e a distribuição t com 29 graus de liberdade, obtém-se:
\text{valor-P} \approx 2\cdot 0{,}0189 \approx 0{,}0378.
(onde 0{,}0189 é a probabilidade de uma cauda além de 2{,}1926 em T_{29}.)
  • Arredondando: \text{valor-P} \approx 0{,}038. Este valor-P é para o teste bilateral.
Observação pedagógica: se alguém usasse a distribuição normal N(0,1) em vez da t, obteria um valor-P menor (aprox. 0{,}028), porque a normal tem caudas menos pesadas; isso é uma razão a mais para preferir t quando \sigma é desconhecida.

Passo 8

Comparação entre a decisão pela estatística de teste e pela regra do valor-P; explicação se houver divergência.
  • Pela estatística crítica (Passo 6): como |t|=2{,}19>2{,}045, rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
  • Pelo valor-P (Passo 7): \text{valor-P}\approx0{,}038<0{,}05, portanto também rejeita-se H_0 ao nível 5\%.
Conclusão: não há divergência — ambas as abordagens levam à mesma decisão de rejeitar H_0.
Explicação sobre possíveis divergências gerais (não ocorrida aqui):
  • Em geral, se \text{valor-P}<\alpha então rejeita-se; se \text{valor-P}\ge\alpha então não rejeita-se. Decisões diferentes só aparecem se houver erro de cálculo ou se, por exemplo, alguém usar z (normal) em vez da t, o que pode alterar ligeiramente o valor-P; com n pequeno a diferença pode mudar a decisão em casos limítrofes. Neste problema, mesmo usando t corretamente, o resultado é claro (rejeitar).

Resposta

a) Teste bilateral (duas caudas): H_0:\\ \mu=12 vs H_1:\\ \mu\neq12. Não usar teste z porque \sigma populacional é desconhecida; com s estimando \sigma deve-se usar o teste t de Student com df=29.
b) Estatística de teste: t=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\dfrac{13,2-12}{3/\sqrt{30}}\approx 2,19.
c) Valor-P (bilateral): \text{valor-P}\approx 0{,}038 (teste bilateral).
d) Decisão: rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05 (pois |t|\approx2{,}19>t_{0{,}975;29}\approx2{,}045 e \text{valor-P}\approx0{,}038<0{,}05). Não há divergência; ambas as abordagens concordam.

Exercícios relacionados