(3,0 pts) Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno a e externo b conduz uma corrente total I distribuída conforme a densidade J=alpha / r^3, onde alpha é uma constante e r é a distância ao eixo central. a) Calcule a constante alpha. Determine a expressão do campo magnético em todo o espaço. b) Determine o ponto interno à casca onde o campo magnético é expresso por B=muO I bpi a^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio longo com formato de casca cilíndrica, que tem um raio interno $ a $ e externo $ b $. Esse fio está conduzindo uma corrente total $ I $, e a densidade de corrente $ J $ é dada por $ J = \frac{\alpha}{r^{3}} $, onde $ \alpha $ é uma constante e $ r $ é a distância ao centro do cilindro. Vamos precisar usar conceitos de corrente elétrica e campo magnético em estruturas cilíndricas para resolver as partes a) e b) desse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante $ \alpha $ na parte a). Sabemos que a corrente total $ I $ é a integral da densidade de corrente $ J $ sobre a área da casca cilíndrica.
A densidade de corrente é dada por:
alpha
A corrente total $ I $ pode ser calculada integrando $ J $ pela área da casca:
I
onde $ L $ é o comprimento do cilindro, mas como o fio é longo, podemos considerar $ L = 1 $ para simplificar.
Substituindo $ J $:
J

Passo 3

Agora, resolvemos a integral:
integral 1r^2 , dr = -1r
Aplicando os limites de integração:
I = 2pi alpha ( -1b + 1a )
I = 2pi alpha ( 1a - 1b )
Agora, isolamos $ \alpha $:
alpha
alpha = I2pi ( 1a - 1b ) = I2pi cdot abb - a

Passo 4

Agora que encontramos $ \alpha $, vamos determinar a expressão do campo magnético $ B $ em todo o espaço. Para isso, usaremos a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético com a corrente que passa pela área delimitada.
A Lei de Ampère é:
alpha
onde $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Vamos analisar três regiões distintas:
  1. Dentro do raio interno ($ r < a $):
    Aqui, não há corrente dentro de $ r < a $ porque todo o currente está distribuído entre $ a $ e $ b $. Logo, $ I_{enc} = 0 $, e portanto, $ B = 0 $.
  2. Dentro da casca ($ a \leq r \leq b $):
    Aqui, a corrente encerrada é a corrente que passa de $ a $ até $ r $. Vamos calcular $ I_{enc} $:
    B
    Substituindo $ J $:
    oint B cdot dl = mu0 Ienc
    Ienc
    Aplicando a Lei de Ampère:
    r < a
    r < a
    Simplificando:
    a
  3. Fora da casca ($ r > b $):
    Aqui, toda a corrente $ I $ está encerrada, então:
    b
    Ienc = 0

Passo 5

Agora, vamos resumir as expressões do campo magnético $ B $ em todas as regiões:
  • Para $ r < a $:
    B
  • Para $ a \leq r \leq b $:
    Substituindo $ \alpha $ que encontramos:
    r < a
    Simplificando:
    B = 0
  • Para $ r > b $:
    a <= r <= b

Resposta

A constante $ \alpha $ é igual a:
alpha
As expressões do campo magnético $ B $ são:
  • Para $ r < a $:
    alpha = I a b2pi (b - a)
  • Para $ a \leq r \leq b $:
    B
  • Para $ r > b $:
    r < a

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