Um fio longo em forma de casca cilíndrica de raio interno
e externo
conduz uma corrente total
distribuída conforme a densidade
, onde
é uma constante e
é a distância ao eixo central. a) Calcule a constante
. Determine a expressão do campo magnético em todo o espaço. b) Determine o ponto interno à casca onde o campo magnético é expresso por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio longo com formato de casca cilíndrica, que tem um raio interno $ a $ e externo $ b $. Esse fio está conduzindo uma corrente total $ I $, e a densidade de corrente $ J $ é dada por $ J = \frac{\alpha}{r^{3}} $, onde $ \alpha $ é uma constante e $ r $ é a distância ao centro do cilindro. Vamos precisar usar conceitos de corrente elétrica e campo magnético em estruturas cilíndricas para resolver as partes a) e b) desse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a constante $ \alpha $ na parte a). Sabemos que a corrente total $ I $ é a integral da densidade de corrente $ J $ sobre a área da casca cilíndrica.
A densidade de corrente é dada por:
A corrente total $ I $ pode ser calculada integrando $ J $ pela área da casca:
onde $ L $ é o comprimento do cilindro, mas como o fio é longo, podemos considerar $ L = 1 $ para simplificar.
Substituindo $ J $:
Passo 3
Agora, resolvemos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Agora, isolamos $ \alpha $:
Passo 4
Agora que encontramos $ \alpha $, vamos determinar a expressão do campo magnético $ B $ em todo o espaço. Para isso, usaremos a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético com a corrente que passa pela área delimitada.
A Lei de Ampère é:
onde $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Vamos analisar três regiões distintas:
-
Dentro do raio interno ($ r < a $):
Aqui, não há corrente dentro de $ r < a $ porque todo o currente está distribuído entre $ a $ e $ b $. Logo, $ I_{enc} = 0 $, e portanto, $ B = 0 $. -
Dentro da casca ($ a \leq r \leq b $):
Aqui, a corrente encerrada é a corrente que passa de $ a $ até $ r $. Vamos calcular $ I_{enc} $:
Substituindo $ J $:
Aplicando a Lei de Ampère:
Simplificando:
-
Fora da casca ($ r > b $):
Aqui, toda a corrente $ I $ está encerrada, então:
Passo 5
Agora, vamos resumir as expressões do campo magnético $ B $ em todas as regiões:
-
Para $ r < a $:
-
Para $ a \leq r \leq b $:
Substituindo $ \alpha $ que encontramos:
Simplificando:
-
Para $ r > b $:
Resposta
A constante $ \alpha $ é igual a:
As expressões do campo magnético $ B $ são:
-
Para $ r < a $:
-
Para $ a \leq r \leq b $:
-
Para $ r > b $: