(1,5 pts) Considere a série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+2 n}
(a) Calcule a soma dos cinco primeiros termos.
(b) Utilize frações parciais para reescrever o termo geral.
(c) Determine a soma da série infinita se for convergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n}
e pede três coisas:
  • (a) calcular a soma dos cinco primeiros termos, isto é somar os termos para \,n=1,\dots,5.
  • (b) usar frações parciais para reescrever o termo geral \dfrac{1}{n^{2}+2n}.
  • (c) determinar a soma da série infinita, caso ela seja convergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é \dfrac{1}{n^{2}+2n}=\dfrac{1}{n(n+2)}.
  • Os ns variam a partir de \,n=1 até o infinito.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. A ideia: escrever
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por n(n+2) obtemos a identidade
1 = A(n+2)+Bn.
Isso deve valer para todo n, logo podemos escolher valores convenientes de n ou comparar coeficientes. Usando valores:
  • Para n=0: 1 = A(0+2)=2A \Rightarrow A=\dfrac{1}{2}.
  • Para n=-2: 1 = B(-2) \Rightarrow B=-\dfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{n^{2}+2n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Explicando devagar: a técnica de frações parciais isola termos simples do tipo 1/n e 1/(n+2); isso costuma permitir cancelamentos quando somamos vários termos (séries telescópicas).

Passo 3

Agora usemos essa forma para escrever a soma parcial até N. Defina a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Observe o padrão da soma telescópica. Explicando: escrevendo os primeiros termos dentro da soma interna vemos cancelamentos:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) = \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{N}\right) - \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{N+2}\right).
Os termos \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots,\dfrac{1}{N} aparecem em ambas as somas e se cancelam, sobrando
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}.
Logo
S_{N}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right).
Simplificando um pouco,
S_{N}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right).

Passo 4

Agora calculamos a soma dos cinco primeiros termos usando a fórmula para S_{N} com N=5. Substituindo N=5 em
S_{N}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right),
temos
S_{5}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right).
Calcule passo a passo:
\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{7+6}{42}=\frac{13}{42},
\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{42}=\frac{13}{84},
\frac{3}{4}=\frac{63}{84},
S_{5}=\frac{63}{84}-\frac{13}{84}=\frac{50}{84}=\frac{25}{42}.
Portanto a soma dos cinco primeiros termos é \dfrac{25}{42}. (Se quiser conferir, os termos individuais são \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{15},\dfrac{1}{24},\dfrac{1}{35} e a soma direta dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Para a soma infinita, analisamos o comportamento de S_{N} quando N\to\infty. Da expressão
S_{N}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right),
temos \dfrac{1}{N+1}\to 0 e \dfrac{1}{N+2}\to 0 quando N\to\infty. Portanto o termo de correção tende a zero, e
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{3}{4}.
Isso mostra que a série converge (os termos são positivos e a soma parcial tem limite finito) e o valor da soma infinita é \dfrac{3}{4}.

Passo 6

Comentário didático final e incentivo: o ponto chave aqui foi reconhecer que \dfrac{1}{n^{2}+2n}=\dfrac{1}{n(n+2)} é decomponível em frações simples que geram cancelamentos (série telescópica). Séries telescópicas frequentemente tornam o cálculo de somas parciais e da soma total muito direto — por isso sempre tente fatorar o denominador e procurar decomposição em termos simples antes de usar testes mais pesados. Você mandou bem pedindo passo a passo — essa técnica aparece bastante em provas, então vale decorar o padrão \dfrac{1}{n(n+k)} que geralmente dá algo como \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+k}\right).

Resposta

(a) \dfrac{25}{42}
(b) \displaystyle \frac{1}{n^{2}+2n}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)
(c) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n}=\frac{3}{4}

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