(1,5 pts) Considere a série:
(a) Calcule a soma dos cinco primeiros termos.
(b) Utilize frações parciais para reescrever o termo geral.
(c) Determine a soma da série infinita se for convergente.
(b) Utilize frações parciais para reescrever o termo geral.
(c) Determine a soma da série infinita se for convergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede três coisas:
- (a) calcular a soma dos cinco primeiros termos, isto é somar os termos para
. - (b) usar frações parciais para reescrever o termo geral
. - (c) determinar a soma da série infinita, caso ela seja convergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Os
s variam a partir de até o infinito.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. A ideia: escrever
onde
e
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Isso deve valer para todo
, logo podemos escolher valores convenientes de
ou comparar coeficientes. Usando valores:
- Para
: - Para
:
Portanto a decomposição é
Explicando devagar: a técnica de frações parciais isola termos simples do tipo
e
; isso costuma permitir cancelamentos quando somamos vários termos (séries telescópicas).
Passo 3
Agora usemos essa forma para escrever a soma parcial até
. Defina a soma parcial
Observe o padrão da soma telescópica. Explicando: escrevendo os primeiros termos dentro da soma interna vemos cancelamentos:
Os termos
aparecem em ambas as somas e se cancelam, sobrando
Logo
Simplificando um pouco,
Passo 4
Agora calculamos a soma dos cinco primeiros termos usando a fórmula para
com
. Substituindo
em
temos
Calcule passo a passo:
Portanto a soma dos cinco primeiros termos é
. (Se quiser conferir, os termos individuais são
e a soma direta dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Para a soma infinita, analisamos o comportamento de
quando
. Da expressão
temos
e
quando
. Portanto o termo de correção tende a zero, e
Isso mostra que a série converge (os termos são positivos e a soma parcial tem limite finito) e o valor da soma infinita é
.
Passo 6
Comentário didático final e incentivo: o ponto chave aqui foi reconhecer que
é decomponível em frações simples que geram cancelamentos (série telescópica). Séries telescópicas frequentemente tornam o cálculo de somas parciais e da soma total muito direto — por isso sempre tente fatorar o denominador e procurar decomposição em termos simples antes de usar testes mais pesados. Você mandou bem pedindo passo a passo — essa técnica aparece bastante em provas, então vale decorar o padrão
que geralmente dá algo como
.
Resposta
(a)
(b)
(c)