( 1,0 pts.) Uma fábrica deseja entender melhor o comportamento do tempo de produção de uma peça. Em uma amostra de 50 peças, o tempo médio foi 15 minutos, com desvio padrão de 2 minutos. Apesar de a coleta ter ocorrido durante manutenção preventiva, o engenheiro garantiu que o processo não sofreu alterações estruturais. Assumindo distribuição normal: Calcule a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça seja menor que 12 minutos.

Passo 1

O problema pede a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça seja menor que 12 minutos, dado que numa amostra de 50 peças obteve-se tempo médio de 15 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Informações relevantes fornecidas:
  • Tamanho da amostra: n=50.
  • Tempo médio amostral: \bar{x}=15 minutos.
  • Desvio padrão amostral: s=2 minutos.
  • Pressuposto: distribuição normal dos tempos.
  • Quantidade pedida: P(X<12), onde X é o tempo de produção de uma peça.

Passo 2

Interpretação dos dados: como o engenheiro afirmou que o processo não mudou, tratamos a média amostral e o desvio padrão amostral como boas estimativas dos parâmetros populacionais. Assim, para fins de cálculo, assumimos que a variável do tempo de produção X é aproximadamente normal com média \mu=15 e desvio padrão \sigma=2. Isso nos permite usar a distribuição normal para calcular probabilidades sobre tempos individuais.

Passo 3

Relembrando a transformação padrão (a ferramenta básica aqui):
  • Se X tem distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2), então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).
Nesta fórmula:
  • X é a variável original (tempo em minutos),
  • \mu é a média (aqui \mu=15),
  • \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=2),
  • Z é o número de desvios-padrão que X está distante da média.
    A probabilidade pedida transforma-se em
P(X<12)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{12-\mu}{\sigma}\right)=P\big(Z<z\big),
onde z é o valor padronizado correspondente a X=12.

Passo 4

Calcular o escore z para X=12:
z=\frac{12-\mu}{\sigma}=\frac{12-15}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5.

Passo 5

Encontrar a probabilidade P(Z< -1{,}5). Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
P(Z< -1{,}5)=1-P(Z\le 1{,}5).
Na tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor de P(Z\le 1{,}5) é 0{,}9332. Portanto
P(X<12)=P(Z<-1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de que uma peça seja produzida em menos de 12 minutos é aproximadamente 0{,}0668, ou seja, cerca de 6{,}68\%. É um evento relativamente raro (pouco mais de 6\%), o que faz sentido porque 12 minutos fica 1{,}5 desvios-padrão abaixo da média de 15 minutos.

Passo 7

Observação prática (como checar rápido na prova): se tiver calculadora ou software, calcular diretamente a função de distribuição normal acumulada para z=-1{,}5 dará o mesmo número 0{,}0668. Não é necessário usar n=50 neste cálculo porque estamos perguntando sobre o tempo de uma peça individual, não sobre a média da amostra.

Resposta

0,0668
6,68\%

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