( 1,0 pts.) Uma fábrica deseja entender melhor o comportamento do tempo de produção de uma peça. Em uma amostra de 50 peças, o tempo médio foi 15 minutos, com desvio padrão de 2 minutos. Apesar de a coleta ter ocorrido durante manutenção preventiva, o engenheiro garantiu que o processo não sofreu alterações estruturais. Assumindo distribuição normal: Calcule a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça seja menor que 12 minutos.
Passo 1
O problema pede a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça seja menor que 12 minutos, dado que numa amostra de 50 peças obteve-se tempo médio de
minutos e desvio padrão de
minutos. Informações relevantes fornecidas:
- Tamanho da amostra:
. - Tempo médio amostral:
minutos. - Desvio padrão amostral:
minutos. - Pressuposto: distribuição normal dos tempos.
- Quantidade pedida:
, onde é o tempo de produção de uma peça.
Passo 2
Interpretação dos dados: como o engenheiro afirmou que o processo não mudou, tratamos a média amostral e o desvio padrão amostral como boas estimativas dos parâmetros populacionais. Assim, para fins de cálculo, assumimos que a variável do tempo de produção
é aproximadamente normal com média
e desvio padrão
. Isso nos permite usar a distribuição normal para calcular probabilidades sobre tempos individuais.
Passo 3
Relembrando a transformação padrão (a ferramenta básica aqui):
- Se
tem distribuição normal , então a variável padronizada
tem distribuição normal padrão
.
Nesta fórmula:
Nesta fórmula:
-
é a variável original (tempo em minutos), -
é a média (aqui ), -
é o desvio padrão (aqui ), -
é o número de desvios-padrão que está distante da média.
A probabilidade pedida transforma-se em
onde
é o valor padronizado correspondente a
.
Passo 4
Calcular o escore
para
:
Passo 5
Encontrar a probabilidade
. Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
Na tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor de
é
. Portanto
Passo 6
Interpretação final: a probabilidade de que uma peça seja produzida em menos de
minutos é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. É um evento relativamente raro (pouco mais de
), o que faz sentido porque
minutos fica
desvios-padrão abaixo da média de
minutos.
Passo 7
Observação prática (como checar rápido na prova): se tiver calculadora ou software, calcular diretamente a função de distribuição normal acumulada para
dará o mesmo número
. Não é necessário usar
neste cálculo porque estamos perguntando sobre o tempo de uma peça individual, não sobre a média da amostra.