(9,0 pts) Considere a função
:
(a) (4,0 pts) Calcule o gradiente de
em seguida as derivadas parciais de segunda ordem
(b) (5,0 pts) Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
definida no conjunto
e faça um esboço da região
(a) (4,0 pts) Calcule o gradiente de
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na parte (a) queremos calcular o gradiente e as derivadas parciais de segunda ordem da função
Isso usa definição de derivada parcial. Na parte (b) há outra função
definida no disco unitário
e precisamos achar os extremos absolutos de
em
. Como
é compacto, examinamos pontos críticos no interior e, na fronteira
, usamos parametrização do círculo.
Passo 2
Derivando
:
Derivadas de segunda ordem:
Passo 3
Para
, calcule o gradiente e ache pontos críticos no interior de
:
Igualando a zero vem
Esse ponto
fica dentro de
pois
.
Passo 4
Avalie
no ponto crítico interior:
Passo 5
Na fronteira
parametrize por
e defina
Derivando em
:
Logo
ou
, dando candidatos
Passo 6
Calcule
nesses pontos:
Comparando com o valor no interior,
, temos:
mínimo absoluto em com valor
,
máximo absoluto em com valor
.
mínimo absoluto em
máximo absoluto em
Passo 7
A região
é o disco unitário: círculo de raio 1 centrado na origem, incluindo interior. O esboço é simplesmente o círculo
e sua área interna.
Resposta
(a)
,
,
,
.
(b) Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto: em
e
.
Região : disco unitário centrado na origem.
Máximo absoluto:
Região