(9,0 pts) Considere a função F(x, y)==x^{3}+y^{3}-3 x y :
(a) (4,0 pts) Calcule o gradiente de F(x, y) em seguida as derivadas parciais de segunda ordem
\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}
(b) (5,0 pts) Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
F(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x
definida no conjunto
B=\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
e faça um esboço da região B

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na parte (a) queremos calcular o gradiente e as derivadas parciais de segunda ordem da função
F_{1}(x,y)=x^{3}+y^{3}-3\,x\,y.
Isso usa definição de derivada parcial. Na parte (b) há outra função
F_{2}(x,y)=x^{2}+2\,y^{2}-x
definida no disco unitário
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le1\},
e precisamos achar os extremos absolutos de F_{2} em B. Como B é compacto, examinamos pontos críticos no interior e, na fronteira x^{2}+y^{2}=1, usamos parametrização do círculo.

Passo 2

Derivando F_{1}:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x}=3\,x^{2}-3\,y, \quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=3\,y^{2}-3\,x.
Derivadas de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}F_{1}}{\partial x^{2}}=6\,x, \quad \frac{\partial^{2}F_{1}}{\partial x\partial y}=-3, \quad \frac{\partial^{2}F_{1}}{\partial y^{2}}=6\,y.

Passo 3

Para F_{2}, calcule o gradiente e ache pontos críticos no interior de B:
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=2\,x-1,\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial y}=4\,y.
Igualando a zero vem
2\,x-1=0\\ \Rightarrow\\ x=\tfrac12, \quad 4\,y=0\\ \Rightarrow\\ y=0.
Esse ponto \bigl(\tfrac12,0\bigr) fica dentro de B pois (\tfrac12)^{2}+0\le1.

Passo 4

Avalie F_{2} no ponto crítico interior:
F_{2}\bigl(\tfrac12,0\bigr)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+2\cdot0^{2}-\tfrac12 =\tfrac14-\tfrac12=-\tfrac14.

Passo 5

Na fronteira x^{2}+y^{2}=1 parametrize por
x=\cos t,\quad y=\sin t,
e defina
G(t)=F_{2}\bigl(\cos t,\sin t\bigr) =\cos^{2}t+2\,\sin^{2}t-\cos t.
Derivando em t:
G'(t)=2\cos t(-\sin t)+4\sin t\cos t+\sin t =\sin t\,(2\cos t+1)=0.
Logo \sin t=0 ou \cos t=-\tfrac12, dando candidatos
(1,0),\;(-1,0),\;\bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 6

Calcule F_{2} nesses pontos:
F_{2}(1,0)=0, \quad F_{2}(-1,0)=2, \quad F_{2}\bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =\tfrac14+2\cdot\tfrac34+ \tfrac12 =\tfrac94.
Comparando com o valor no interior, -\tfrac14, temos:
mínimo absoluto em \bigl(\tfrac12,0\bigr) com valor -\tfrac14,
máximo absoluto em \bigl(-\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) com valor \tfrac94.

Passo 7

A região B é o disco unitário: círculo de raio 1 centrado na origem, incluindo interior. O esboço é simplesmente o círculo x^{2}+y^{2}=1 e sua área interna.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla F_{1}(x,y)=(3x^{2}-3y,\;3y^{2}-3x), \displaystyle \frac{\partial^{2}F_{1}}{\partial x^{2}}=6x, \displaystyle \frac{\partial^{2}F_{1}}{\partial x\partial y}=-3, \displaystyle \frac{\partial^{2}F_{1}}{\partial y^{2}}=6y.
(b) Mínimo absoluto: F_{2}=-\tfrac14 em \bigl(\tfrac12,0\bigr).
Máximo absoluto: F_{2}=\tfrac94 em \bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) e \bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
Região B: disco unitário centrado na origem.

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