Determine quais dos conjunto J \subset \mathbb{Q}[x] são ideais. Em caso afirmativo, calcule o polinômio mônico tal que J=p(x) \mathbb{Q}[x] e se o ideal é maximal ou não.
J=\{f(x) \in \mathbb{Q}[x] \mid f(\sqrt{2})=0\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
J=\{\,f(x)\in\mathbb{Q}[x]\mid f(\sqrt{2})=0\,\}.
As perguntas são: (1) J é um ideal de \mathbb{Q}[x]? (2) Se for ideal, encontrar o polinômio monico p(x) tal que J=p(x)\mathbb{Q}[x]. (3) O ideal é maximal ou não?

Passo 2

Vou começar mostrando uma ideia útil: considere a aplicação de avaliação em \sqrt{2}
\varphi:\mathbb{Q}[x]\longrightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\qquad \varphi(f)=f(\sqrt{2}).
Aqui \mathbb{Q}(\sqrt{2}) é o corpo formado por números da forma a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Q}. Primeiro note que \varphi é um homomorfismo de anéis (preserva soma e produto). Pelo fato geral de álgebra, o núcleo de um homomorfismo de anéis é sempre um ideal. Observe que, por definição, o núcleo de \varphi é exatamente
\ker\varphi=\{f\in\mathbb{Q}[x]\mid f(\sqrt{2})=0\}=J.
Portanto J é de fato um ideal de \mathbb{Q}[x].

Passo 3

Agora precisamos encontrar o gerador principal de J. Uma estratégia natural é procurar o polinômio minimal de \sqrt{2} sobre \mathbb{Q} (isto é, o polinômio não nulo de coeficientes racionais de menor grau que anula \sqrt{2}). É imediato verificar que
(\sqrt{2})^2-2=0,
logo o polinômio \;x^2-2\; anula \sqrt{2}. Assim \;x^2-2\in J.

Passo 4

Vou mostrar que qualquer f\in J é múltiplo de x^2-2. Use o algoritmo da divisão em \mathbb{Q}[x]: para dado f\in\mathbb{Q}[x] existem q,r\in\mathbb{Q}[x] com \deg r<2 tais que
f(x)=(x^2-2)q(x)+r(x).
Como f(\sqrt{2})=0 e (\sqrt{2})^2-2=0, ao avaliar em x=\sqrt{2} obtemos
0=f(\sqrt{2})= ( (\sqrt{2})^2-2 ) q(\sqrt{2}) + r(\sqrt{2}) = 0\cdot q(\sqrt{2}) + r(\sqrt{2}) = r(\sqrt{2}).
Logo o resto r (de grau menor que 2) satisfaz r(\sqrt{2})=0. Escreva r(x)=ax+b com a,b\in\mathbb{Q}. Então
a\sqrt{2}+b=0.
Se a\neq 0 teríamos \sqrt{2}=-b/a\in\mathbb{Q}, o que é impossível. Portanto a=0 e então b=0. Isso mostra r\equiv 0 e, portanto, x^2-2 divide f. Concluímos que todo f\in J é múltiplo de x^2-2, ou seja
J=(x^2-2)\mathbb{Q}[x].

Passo 5

O polinômio x^2-2 é monico (coeficiente líder igual a 1), logo já encontramos o gerador monico pedido:
p(x)=x^2-2.
Comentário sobre unicidade: o gerador monico de um ideal principal gerado por um polinômio é único.

Passo 6

Falta decidir se o ideal é maximal. Para isso verificamos se o polinômio gerador é irreducível em \mathbb{Q}[x]. Como \deg(x^2-2)=2, para ser redutível teria que ter uma raiz racional. Pelo teste das raízes racionais (ou simplesmente checando os divisores do termo constante 2), as possíveis raízes racionais seriam \pm 1,\pm 2; nenhuma delas zera x^2-2. Logo x^2-2 não tem raiz racional e é irreducível sobre \mathbb{Q}. Portanto x^2-2 é irreducível em \mathbb{Q}[x].

Passo 7

Em \mathbb{Q}[x] (anel de polinômios sobre um corpo) um ideal principal (f) é maximal se, e somente se, f for irreducível. Como x^2-2 é irreducível, o ideal (x^2-2) é maximal. Outra forma de ver: o quociente
\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)
é isomorfo ao corpo \mathbb{Q}(\sqrt{2}), portanto é corpo, o que caracteriza maximalidade.

Resposta

Sim. J=(x^2-2).\nGerador monico: p(x)=x^2-2.\nO ideal é maximal.

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