Determine quais dos conjunto
são ideais. Em caso afirmativo, calcule o polinômio mônico tal que
e se o ideal é maximal ou não.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
As perguntas são: (1)
é um ideal de
? (2) Se for ideal, encontrar o polinômio monico
tal que
. (3) O ideal é maximal ou não?
Passo 2
Vou começar mostrando uma ideia útil: considere a aplicação de avaliação em
Aqui
é o corpo formado por números da forma
com
. Primeiro note que
é um homomorfismo de anéis (preserva soma e produto). Pelo fato geral de álgebra, o núcleo de um homomorfismo de anéis é sempre um ideal. Observe que, por definição, o núcleo de
é exatamente
Portanto
é de fato um ideal de
.
Passo 3
Agora precisamos encontrar o gerador principal de
. Uma estratégia natural é procurar o polinômio minimal de
sobre
(isto é, o polinômio não nulo de coeficientes racionais de menor grau que anula
). É imediato verificar que
logo o polinômio
anula
. Assim
.
Passo 4
Vou mostrar que qualquer
é múltiplo de
. Use o algoritmo da divisão em
: para dado
existem
com
tais que
Como
e
, ao avaliar em
obtemos
Logo o resto
(de grau menor que
) satisfaz
. Escreva
com
. Então
Se
teríamos
, o que é impossível. Portanto
e então
. Isso mostra
e, portanto,
divide
. Concluímos que todo
é múltiplo de
, ou seja
Passo 5
O polinômio
é monico (coeficiente líder igual a
), logo já encontramos o gerador monico pedido:
Comentário sobre unicidade: o gerador monico de um ideal principal gerado por um polinômio é único.
Passo 6
Falta decidir se o ideal é maximal. Para isso verificamos se o polinômio gerador é irreducível em
. Como
, para ser redutível teria que ter uma raiz racional. Pelo teste das raízes racionais (ou simplesmente checando os divisores do termo constante
), as possíveis raízes racionais seriam
; nenhuma delas zera
. Logo
não tem raiz racional e é irreducível sobre
. Portanto
é irreducível em
.
Passo 7
Em
(anel de polinômios sobre um corpo) um ideal principal
é maximal se, e somente se,
for irreducível. Como
é irreducível, o ideal
é maximal. Outra forma de ver: o quociente
é isomorfo ao corpo
, portanto é corpo, o que caracteriza maximalidade.
Resposta
Sim.
.\nGerador monico:
.\nO ideal é maximal.