(2 pts) Determine a convergência ou não da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{2^{n}}{n^{2}}
converge ou não. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries infinitas; para isso, vamos usar o teste da razão e também o teste do termo geral (ou divergência).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos termos u_{n}=(-1)^{n+1}2^{n}/n^{2}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}/(n+1)^{2}}{2^{n}/n^{2}} = \lim_{n\to\infty}2\,\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = 2.
Como L=2>1, o teste da razão garante que a série de termos absolutos \sum|u_{n}| diverge e, portanto, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para checar convergência condicional, aplicamos o teste do termo geral. Note que
\lim_{n\to\infty}u_{n} = \lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{2^{n}}{n^{2}}
não existe como número finito, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}}=+\infty.
Logo, u_{n} não tende a zero e pelo teste da divergência a série não pode convergir nem condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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