Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^raiz3 integral0^4 s^-1 y raizx y d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integraly=0^raiz3integralx=0^4/yraizx,y;dx,dy
e pede para esboçar a região de integração e escrever a integral equivalente trocando a ordem de integração. O conteúdo é troca de ordem de integração em coordenadas cartesianas.

Passo 2

A região R no plano xy é
R = (x,y)mid 0<= y<= raiz3,;0<= x<= 4/y
Ela é limitada pelas retas y=0, y=raiz3, x=0 e pela curva hiperbólica x = 4/y (ou xy=4). Para esboçar, note alguns pontos da hipérbole:
— em y=1, x=4;
— em y=2, x=2;
— em y=raiz3, x=4/raiz3.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos um x>=0 e vemos que a condição 0<= x<= 4/y equivale a
y <= 4x
Assim
R=(x,y)mid x>=0,;0<= y<=minl(raiz3,;4/xr)

Passo 4

Há dois casos para x:
  • Se 0<= x<= 4/raiz3, então 4/x>=raiz3 e o teto para y é raiz3.
  • Se x>4/raiz3, então 4/x<raiz3 e o teto para y é 4/x.

Resposta

A integral com ordem invertida é
integralx=0^4/raiz3!integraly=0^raiz3raizx,y;dy,dx ;+; integralx=4/raiz3^infty!integraly=0^4/xraizx,y;dy,dx

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