Seja partial Sigma uma superfície fechada que é a fronteira de um sólido Sigma. Encontre um campo F definido em R^3 tal que o fluxo de F sobre partial Sigma seja igual ao volume de Sigma.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma superfície fechada, chamada partial Sigma, que é a fronteira de um sólido Sigma. A tarefa é encontrar um campo vetorial F em R^3 tal que o fluxo de F através dessa superfície seja igual ao volume do sólido Sigma.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Precisamos, então, encontrar um campo F cuja divergência seja constante e igual a 1, já que queremos que o fluxo seja igual ao volume.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por nabla cdot F, mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para o nosso caso, queremos que nabla cdot F = 1 em todo ponto do espaço.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um campo vetorial F cuja divergência seja 1. Uma escolha simples é usar um campo que seja proporcional às coordenadas espaciais. Vamos tentar o seguinte:
F(x, y, z) = 13(x, y, z)

Passo 4

Vamos verificar se a divergência desse campo realmente é 1. Calculando a divergência:
nabla cdot F = partialpartial x(x3) + partialpartial y(y3) + partialpartial z(z3) = 13 + 13 + 13 = 1
Então, confirmamos que nabla cdot F = 1.

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo de F através de partial Sigma é igual à integral da divergência de F sobre o volume Sigma:
integral duplapartial Sigma F cdot n , dS = integral triplaSigma nabla cdot F , dV = integral triplaSigma 1 , dV = Volume de Sigma
Isso satisfaz exatamente o que a questão pede.

Resposta

Um campo vetorial que satisfaz a condição é F(x, y, z) = dfrac13(x,, y,, z).

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