Seja
uma superfície fechada que é a fronteira de um sólido
. Encontre um campo
definido em
tal que o fluxo de
sobre
seja igual ao volume de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma superfície fechada, chamada
, que é a fronteira de um sólido
. A tarefa é encontrar um campo vetorial
em
tal que o fluxo de
através dessa superfície seja igual ao volume do sólido
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície. Precisamos, então, encontrar um campo
cuja divergência seja constante e igual a 1, já que queremos que o fluxo seja igual ao volume.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para o nosso caso, queremos que
em todo ponto do espaço.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um campo vetorial
cuja divergência seja 1. Uma escolha simples é usar um campo que seja proporcional às coordenadas espaciais. Vamos tentar o seguinte:
Passo 4
Vamos verificar se a divergência desse campo realmente é 1. Calculando a divergência:
Então, confirmamos que
.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo de
através de
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
:
Isso satisfaz exatamente o que a questão pede.
Resposta
Um campo vetorial que satisfaz a condição é
.