(2 pts) É possível definir
de modo que a função
seja contínua?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pergunta: É possível definir
de modo que a função seja contínua em ? - A função é dada por partes:
- Para
: . - Para
: .
- Para
- Observação importante: a única possível descontinuidade está em
, porque a função não está definida aí. Para que seja contínua em seria necessário que os limites laterais existam e sejam iguais entre si e iguais a . Vou calcular os limites laterais e compará‑los.
Passo 2
Cálculo do limite pela esquerda
.
- Temos a forma
que, ao substituir , dá a indeterminação . Um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar raízes. - Multiplicando por
obtemos
- Simplificando o numerador
, fica
- Agora fazemos o limite quando
:
- Podemos também dar uma forma alternativa:
, e numericamente é aproximadamente .
Passo 3
Cálculo do limite pela direita
.
- Para
temos . - Sabendo que
é limitada por para todo , obtemos para :
- Como
e , pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) segue que
Passo 4
Comparação dos limites laterais e implicação para continuidade.
- Encontramos
-
, -
.
-
- Como os limites laterais não são iguais, não existe um único valor
tal que ambos os limites laterais sejam . Portanto não há escolha de que faça os dois lados coincidirem. - Conclusão lógica: não é possível tornar
contínua em definindo um valor apropriado para , porque a continuidade exigiria igualdade dos dois limites laterais.
Resposta
Não. Não existe valor de
que torne
contínua, pois
.