(2 pts) É possível definir f(0) de modo que a função
f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x}, & \text { se }-2 \leq x<0 \\\ \sqrt{x} \sin \frac{1}{x}, & \text { se } x>0\end{cases}
seja contínua?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pergunta: É possível definir f(0) de modo que a função f seja contínua em 0?
  • A função é dada por partes:
    • Para -2 \le x<0: f(x)=\dfrac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x}.
    • Para x>0: f(x)=\sqrt{x}\,\sin\!\dfrac{1}{x}.
  • Observação importante: a única possível descontinuidade está em x=0, porque a função não está definida aí. Para que f seja contínua em 0 seria necessário que os limites laterais existam e sejam iguais entre si e iguais a f(0). Vou calcular os limites laterais e compará‑los.

Passo 2

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x).
  • Temos a forma \dfrac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x} que, ao substituir x\to0, dá a indeterminação \dfrac{0}{0}. Um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar raízes.
  • Multiplicando por \dfrac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}} obtemos
\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x} = \frac{(\sqrt{2+x}-\sqrt{2})(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}{x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})} = \frac{(2+x)-2}{x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}.
  • Simplificando o numerador (2+x)-2 = x, fica
\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}, \qquad\text{para }x\neq0.
  • Agora fazemos o limite quando x\to0^-:
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2+0}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}.
  • Podemos também dar uma forma alternativa: \dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}, e numericamente é aproximadamente 0,3536.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x).
  • Para x>0 temos f(x)=\sqrt{x}\,\sin\!\dfrac{1}{x}.
  • Sabendo que \sin é limitada por -1\le \sin t\le 1 para todo t, obtemos para x>0:
-\,\sqrt{x}\le \sqrt{x}\,\sin\!\frac{1}{x}\le \sqrt{x}.
  • Como \displaystyle\lim_{x\to0^+}\!(-\sqrt{x})=0 e \displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) segue que
\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}\,\sin\!\frac{1}{x}=0.

Passo 4

Comparação dos limites laterais e implicação para continuidade.
  • Encontramos
    • \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}},
    • \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0.
  • Como os limites laterais não são iguais, não existe um único valor L tal que ambos os limites laterais sejam L. Portanto não há escolha de f(0) que faça os dois lados coincidirem.
  • Conclusão lógica: não é possível tornar f contínua em 0 definindo um valor apropriado para f(0), porque a continuidade exigiria igualdade dos dois limites laterais.

Resposta

Não. Não existe valor de f(0) que torne f contínua, pois \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\neq0=\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x).

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