(2,5 pts.) Potencial elétrico de um quadrado de cargas.
Um quadrado de lado L possui quatro cargas elétricas localizadas nos vértices.
Se duas cargas são \mathbf{Q} e as outras duas são -\mathbf{Q}, qual é o potencial elétrico no centro do quadrado?

Passo 1

O enunciado dá um quadrado de lado L com quatro cargas pontuais nos vértices: duas de valor \mathbf{Q} e duas de valor -\mathbf{Q}. Pede-se o potencial elétrico no centro do quadrado. O conteúdo matemático necessário é o potencial de uma carga pontual
V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}
e o princípio da superposição de potenciais. Para resolver, precisaremos da distância do centro do quadrado a cada vértice e somar os potenciais de cada carga.

Passo 2

Calcular a distância r do centro do quadrado a um vértice. Num quadrado de lado L, o centro e um vértice formam um triângulo isósceles com catetos de comprimento L/2. Logo,
r = \sqrt{\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^2} = \sqrt{2\,(L/2)^2} = \frac{L}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Escrever o potencial gerado por cada carga no centro. Sejam Q_i os valores das cargas +\mathbf{Q} ou -\mathbf{Q}. Então o potencial devido a cada uma é
V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_i}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_i}{L/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4\pi\varepsilon_0\,L}\;Q_i.

Passo 4

Aplicar superposição: somam-se os quatro potenciais. Como há duas cargas +\mathbf{Q} e duas cargas -\mathbf{Q}, obtemos
V_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{4}V_i = \frac{\sqrt{2}}{4\pi\varepsilon_0\,L}\bigl(\mathbf{Q}+\mathbf{Q}-\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{4\pi\varepsilon_0\,L}\times 0 = 0.

Resposta

O potencial elétrico no centro do quadrado é zero.

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