(2 pts) Qual é a distância percorrida por uma bola de tênis até o repouso, se ela cai de uma altura de 100 m e após cada queda ela rebate no chão e volta uma distância de \frac{11}{20} da altura anterior?

Passo 1

O enunciado diz que uma bola cai de uma altura inicial de 100 m e, a cada queda, rebate subindo até \tfrac{11}{20} da altura anterior. Queremos a soma de todas as distâncias (ida e volta) até ela parar. O conteúdo aqui é soma de série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos listar as distâncias percorridas em cada etapa:
  1. Queda inicial: 100 m para baixo.
  2. Primeiro salto: sobe 100\cdot\tfrac{11}{20} m e depois desce a mesma altura.
  3. Segundo salto: sobe 100\cdot\bigl(\tfrac{11}{20}\bigr)^{2} m e desce igual, e assim por diante.

Passo 3

Seja r=\tfrac{11}{20}. O total de distância D é a queda inicial mais duas vezes a soma das alturas dos saltos:
D = 100 + 2\sum_{k=1}^{\infty}100\,r^{k}.

Passo 4

A soma da série geométrica infinita \sum_{k=1}^{\infty}r^{k} para |r|<1 vale
\sum_{k=1}^{\infty}r^{k} = \frac{r}{1-r}.

Passo 5

Substituindo r=\tfrac{11}{20} em \sum_{k=1}^{\infty}100\,r^{k}:
\sum_{k=1}^{\infty}100\,r^{k} =100\cdot\frac{\tfrac{11}{20}}{1 - \tfrac{11}{20}} =100\cdot\frac{\tfrac{11}{20}}{\tfrac{9}{20}} =100\cdot\frac{11}{9} =\frac{1100}{9}.
Logo,
D = 100 + 2\cdot\frac{1100}{9} =100 + \frac{2200}{9} =\frac{900}{9} + \frac{2200}{9} =\frac{3100}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{3100}{9}\,\text{m}\approx344{,}44\,\text{m}.

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