Dada a equação diferencial
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 5. É linear pois pode ser escrita na forma
(b) Encontre a solução geral da mesma.
R:
(c) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
(b) Encontre a solução geral da mesma.
(c) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas são:
- Classificar a EDO quanto à ordem e à linearidade.
- Encontrar a solução geral da EDO.
- Mostrar que a função encontrada em (2) é de fato solução da EDO.
Informações relevantes do enunciado:
onde
é a quinta derivada de
em relação a
e
é a primeira derivada. O lado direito é um polinômio em
de grau 1:
.
Passo 2
Classificação quanto à ordem e linearidade (resposta a (a), com justificativa didática).
- Ordem: a ordem de uma EDO é a maior derivada presente. Aqui aparece
, logo a ordem é . - Linearidade: uma EDO é linear se todas as derivadas de
aparecem com coeficientes que dependem somente de (ou constantes) e não de nem de suas potências/funcões não lineares. Podemos escrever a equação como
ou seja, é da forma
com
funções (aqui constantes ou zero). Portanto é linear e, por ter termo não nulo no lado direito, é uma EDO linear não-homogênea.
Passo 3
Encontrar a solução geral: estratégia e teoria necessária (inicío do passo a passo para (b)).
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica substituindo
. Para a homogênea associada
colocamos
. Então cada derivada dá um fator
, e obtemos a equação característica
Vamos fatorar e resolver essa equação para achar as raízes
. As soluções exponenciais
correspondem às raízes reais
; raízes complexas conjugadas
geram soluções lineares reais
e
. Se uma raiz real
tiver multiplicidade
, então aparecem fatores
.
Passo 4
Resolver a equação característica e escrever a solução da homogênea.
Fatoramos
Portanto as raízes são:
Todas são simples (multiplicidade 1). Assim uma base de soluções da homogênea é formada por:
Explicação curta:
dá solução constante
;
dão
e
;
correspondem às partes real e imaginária de
, que são
e
.
Logo a solução geral da homogênea é
com constantes arbitrárias
.
Passo 5
Determinar uma solução particular
para a não-homogeneidade
— método dos coeficientes a determinar.
Rápida explicação do método: quando o termo não-homogêneo é um polinômio em
de grau
, tentamos um polinômio de grau
como
. Porém se
(ou outra raiz) da equação característica faz com que alguma parte desse polinômio já esteja na solução homogênea, multiplicamos o ansatz por
, onde
é a multiplicidade da raiz do polinômio característico correspondente (aqui a raiz
corresponde a funções polinomiais constantes).
No nosso caso o lado direito é polinômio de grau
:
. A raiz
aparece na homogênea com multiplicidade
(há a solução constante). Então multiplicamos o polinômio candidato por
. Um polinômio de grau
multiplicado por
dá um polinômio de grau
. Assim tomamos o ansatz
com
constantes a determinar.
Passo 6
Calcular as derivadas necessárias de
e substituir na equação para achar
e
.
Derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Isto é
Comparando coeficientes de potências de
:
- coeficiente de
: → . - termo constante:
→ .
Portanto
Passo 7
Escrever a solução geral da EDO (resposta a (b)) juntando homogênea e particular.
A solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 8
Verificação explícita de que a solução encontrada satisfaz a EDO (resposta ao item (c)) — justificativa didática.
Princípio usado: o operador linear
é linear, então
. Para verificar que
é solução basta mostrar
e
.
-
Para
: cada termo básico corresponde a uma raiz da equação característica , logo substituindo produz , ou seja . As combinações lineares reais (incluindo que vêm de ) também anulam o operador. Portanto . -
Para
já calculamos suas derivadas: e . Então
que é exatamente o lado direito da EDO.
Como
, segue que
satisfaz a EDO. Isso completa a verificação.
Resposta
(a) Ordem
. É linear (EDO linear não-homogênea).
(b)
(c) Sim. Substituindo a solução no operador
obtemos
, logo a função verifica a EDO.