Dada a equação diferencial
y^{(5)}-16 y^{\prime}=32 x-32 .
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 5. É linear pois pode ser escrita na forma y^{(5)}+p_{4}(x) y^{(4)}+p_{3}(x) y^{(3)}+p_{2}(x) y^{\prime \prime}+p_{1}(x) y^{\prime}+p_{0}(x) y=g(x)
(b) Encontre a solução geral da mesma.
R: y(x)=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-2 x}+c_{3} \sin (2 x)+c_{4} \cos (2 x)+c_{5}-x^{2}+2 x
(c) Mostre que a função encontrada em b) é, de fato, solução da EDO apresentada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{(5)}-16\,y^{\prime}=32x-32.
As perguntas são:
  1. Classificar a EDO quanto à ordem e à linearidade.
  2. Encontrar a solução geral da EDO.
  3. Mostrar que a função encontrada em (2) é de fato solução da EDO.
Informações relevantes do enunciado:
\text{EDO: }y^{(5)}-16\,y^{\prime}=32x-32,
onde y^{(5)} é a quinta derivada de y em relação a x e y' é a primeira derivada. O lado direito é um polinômio em x de grau 1: 32x-32.

Passo 2

Classificação quanto à ordem e linearidade (resposta a (a), com justificativa didática).
  • Ordem: a ordem de uma EDO é a maior derivada presente. Aqui aparece \,y^{(5)}, logo a ordem é \;5.
  • Linearidade: uma EDO é linear se todas as derivadas de y aparecem com coeficientes que dependem somente de x (ou constantes) e não de y nem de suas potências/funcões não lineares. Podemos escrever a equação como
y^{(5)}+0\cdot y^{(4)}+0\cdot y^{(3)}+0\cdot y^{\prime\prime}-16\cdot y^{\prime}+0\cdot y=32x-32,
ou seja, é da forma
y^{(5)}+p_4(x)y^{(4)}+\cdots+p_0(x)y=g(x)
com p_i(x) funções (aqui constantes ou zero). Portanto é linear e, por ter termo não nulo no lado direito, é uma EDO linear não-homogênea.

Passo 3

Encontrar a solução geral: estratégia e teoria necessária (inicío do passo a passo para (b)).
Para EDOs lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica substituindo y=e^{rx}. Para a homogênea associada
y^{(5)}-16y'=0
colocamos y=e^{rx}. Então cada derivada dá um fator r, e obtemos a equação característica
r^5-16r=0.
Vamos fatorar e resolver essa equação para achar as raízes r. As soluções exponenciais e^{rx} correspondem às raízes reais r; raízes complexas conjugadas a\pm i b geram soluções lineares reais \mathrm{e}^{ax}\cos(bx) e \mathrm{e}^{ax}\sin(bx). Se uma raiz real r_0 tiver multiplicidade m, então aparecem fatores e^{r_0 x}, x e^{r_0 x}, \dots, x^{m-1} e^{r_0 x}.

Passo 4

Resolver a equação característica e escrever a solução da homogênea.
Fatoramos
r^5-16r = r(r^4-16) = r(r^2-4)(r^2+4).
Portanto as raízes são:
r=0,\quad r=\pm 2,\quad r=\pm 2i.
Todas são simples (multiplicidade 1). Assim uma base de soluções da homogênea é formada por:
e^{2x},\quad e^{-2x},\quad \cos(2x),\quad \sin(2x),\quad 1.
Explicação curta: r=0 dá solução constante 1; r=\pm2 dão e^{2x} e e^{-2x}; r=\pm 2i correspondem às partes real e imaginária de e^{2ix}, que são \cos(2x) e \sin(2x).
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+C_3\cos(2x)+C_4\sin(2x)+C_5,
com constantes arbitrárias C_1,\dots,C_5.

Passo 5

Determinar uma solução particular y_p para a não-homogeneidade 32x-32 — método dos coeficientes a determinar.
Rápida explicação do método: quando o termo não-homogêneo é um polinômio em x de grau n, tentamos um polinômio de grau n como y_p. Porém se 0 (ou outra raiz) da equação característica faz com que alguma parte desse polinômio já esteja na solução homogênea, multiplicamos o ansatz por x^m, onde m é a multiplicidade da raiz do polinômio característico correspondente (aqui a raiz r=0 corresponde a funções polinomiais constantes).
No nosso caso o lado direito é polinômio de grau 1: 32x-32. A raiz r=0 aparece na homogênea com multiplicidade 1 (há a solução constante). Então multiplicamos o polinômio candidato por x. Um polinômio de grau 1 multiplicado por x dá um polinômio de grau 2. Assim tomamos o ansatz
y_p(x)=A x^2+B x,
com A,B constantes a determinar.

Passo 6

Calcular as derivadas necessárias de y_p e substituir na equação para achar A e B.
Derivadas de y_p:
y_p'=2Ax+B,
y_p''=2A,
y_p'''=0,\quad y_p^{(4)}=0,\quad y_p^{(5)}=0.
Substituindo em \,y^{(5)}-16y' = 32x-32 obtemos
0 -16(2Ax+B)=32x-32.
Isto é
-32A x -16B = 32x-32.
Comparando coeficientes de potências de x:
  • coeficiente de x: -32A=32 A=-1.
  • termo constante: -16B=-32 B=2.
Portanto
y_p(x) = -x^2 + 2x.

Passo 7

Escrever a solução geral da EDO (resposta a (b)) juntando homogênea e particular.
A solução geral é
y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+C_3\cos(2x)+C_4\sin(2x)+C_5 - x^2 + 2x,
onde C_1,\dots,C_5 são constantes arbitrárias.

Passo 8

Verificação explícita de que a solução encontrada satisfaz a EDO (resposta ao item (c)) — justificativa didática.
Princípio usado: o operador linear L[y]=y^{(5)}-16y' é linear, então L[y_h+y_p]=L[y_h]+L[y_p]. Para verificar que y é solução basta mostrar L[y_h]=0 e L[y_p]=32x-32.
  1. Para y_h: cada termo básico e^{2x},e^{-2x},\cos(2x),\sin(2x),1 corresponde a uma raiz da equação característica r^5-16r=0, logo substituindo y=\mathrm{e}^{rx} produz r^5-16r=0, ou seja L[\mathrm{e}^{rx}]=0. As combinações lineares reais (incluindo \cos(2x),\sin(2x) que vêm de r=\pm 2i) também anulam o operador. Portanto L[y_h]=0.
  2. Para y_p(x)=-x^2+2x já calculamos suas derivadas: y_p^{(5)}=0 e y_p'=-2x+2. Então
L[y_p]=0-16(-2x+2)=32x-32,
que é exatamente o lado direito da EDO.
Como L[y]=L[y_h]+L[y_p]=0+(32x-32)=32x-32, segue que y=y_h+y_p satisfaz a EDO. Isso completa a verificação.

Resposta

(a) Ordem 5. É linear (EDO linear não-homogênea).
(b) y(x)=C_{1} e^{2x}+C_{2} e^{-2x}+C_{3}\cos(2x)+C_{4}\sin(2x)+C_{5}-x^{2}+2x
(c) Sim. Substituindo a solução no operador y^{(5)}-16y' obtemos 32x-32, logo a função verifica a EDO.

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