(2 pts.) Prove a seguinte afirmação verdadeira: “Dados quaisquer eventos
e
de probabilidades nāo-nulas, se
, ent in
e
nīo sāo independentes.” Interprete o que está acontecendo aqui.
Passo 1
O enunciado nos dá as informações e pede uma coisa clara. As informações são:
- Dois eventos
e tais que e . - Sabe-se que
(ou seja, são mutuamente exclusivos).
O que o enunciado pede: - Demonstrar que, sob essas hipóteses,
e não são independentes.
Passo 2
Lembrando a definição de independência de eventos (a ferramenta que vamos usar).
- Dois eventos
e são independentes se, e somente se,
Expliquei: aqui
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente
e
;
e
são as probabilidades individuais.
Passo 3
Usar a hipótese
para avaliar
.
- Se
, então não há resultados em comum entre e , logo
Passo 4
Comparar
com
usando que
e
.
- Como
e , o produto é estritamente positivo:
- Mas pela Passo 3 temos
. Portanto
- Isso contradiz a condição necessária para independência. Logo
e não são independentes.
Passo 5
Apresentar a mesma conclusão via probabilidade condicional (intuição útil para a prova).
- A probabilidade condicional de
dado é
- Como
(Passo 3) e , então
- Mas
por hipótese. Para eventos independentes deveríamos ter . Aqui . Portanto e são dependentes. - Interpretação intuitiva: saber que
ocorreu elimina completamente a possibilidade de ocorrer (probabilidade condicionada zero), então o conhecimento de altera a probabilidade de — é exatamente dependência.
Passo 6
Um exemplo numérico curto para fixar a ideia (coisa simples que se pode usar na prova).
- Considere um lançamento de dado honesto. Tome
e . - Então
, , ambas não-nulas, e . - Aqui
mas . Logo não são independentes. Também .
Passo 7
Resumo final da ideia (como responder rápido na prova):
- Se
então . - Com
e temos . - Como
, não vale , logo e não são independentes. Intuitivamente, a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, portanto há dependência.