(2 pts.) Prove a seguinte afirmação verdadeira: “Dados quaisquer eventos A e B de probabilidades nāo-nulas, se A \cap B=\emptyset, ent in A e B nīo sāo independentes.” Interprete o que está acontecendo aqui.

Passo 1

O enunciado nos dá as informações e pede uma coisa clara. As informações são:
  • Dois eventos A e B tais que P(A)\neq0 e P(B)\neq0.
  • Sabe-se que A\cap B=\emptyset (ou seja, são mutuamente exclusivos).
    O que o enunciado pede:
  • Demonstrar que, sob essas hipóteses, A e B não são independentes.

Passo 2

Lembrando a definição de independência de eventos (a ferramenta que vamos usar).
  • Dois eventos A e B são independentes se, e somente se,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Expliquei: aqui P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e B; P(A) e P(B) são as probabilidades individuais.

Passo 3

Usar a hipótese A\cap B=\emptyset para avaliar P(A\cap B).
  • Se A\cap B=\emptyset, então não há resultados em comum entre A e B, logo
P(A\cap B)=P(\emptyset)=0.

Passo 4

Comparar P(A\cap B) com P(A)P(B) usando que P(A)\neq0 e P(B)\neq0.
  • Como P(A)\neq0 e P(B)\neq0, o produto P(A)P(B) é estritamente positivo:
P(A)P(B)>0.
  • Mas pela Passo 3 temos P(A\cap B)=0. Portanto
P(A\cap B)=0\neq P(A)P(B).
  • Isso contradiz a condição necessária para independência. Logo A e B não são independentes.

Passo 5

Apresentar a mesma conclusão via probabilidade condicional (intuição útil para a prova).
  • A probabilidade condicional de B dado A é
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
  • Como P(A\cap B)=0 (Passo 3) e P(A)\neq0, então
P(B\mid A)=0.
  • Mas P(B)\neq0 por hipótese. Para eventos independentes deveríamos ter P(B\mid A)=P(B). Aqui P(B\mid A)=0\neq P(B). Portanto A e B são dependentes.
  • Interpretação intuitiva: saber que A ocorreu elimina completamente a possibilidade de B ocorrer (probabilidade condicionada zero), então o conhecimento de A altera a probabilidade de B — é exatamente dependência.

Passo 6

Um exemplo numérico curto para fixar a ideia (coisa simples que se pode usar na prova).
  • Considere um lançamento de dado honesto. Tome A=\{1,2\} e B=\{3,4\}.
  • Então P(A)=\tfrac{2}{6}, P(B)=\tfrac{2}{6}, ambas não-nulas, e A\cap B=\emptyset.
  • Aqui P(A\cap B)=0 mas P(A)P(B)=\tfrac{4}{36}=\tfrac{1}{9}>0. Logo não são independentes. Também P(B\mid A)=0\neq P(B)=\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Resumo final da ideia (como responder rápido na prova):
  • Se A\cap B=\emptyset então P(A\cap B)=0.
  • Com P(A)\neq0 e P(B)\neq0 temos P(A)P(B)>0.
  • Como 0\neq P(A)P(B), não vale P(A\cap B)=P(A)P(B), logo A e B não são independentes. Intuitivamente, a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, portanto há dependência.

Resposta

A e B não são independentes.

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