(2 pts.) Prove o Teorema de Bayes. (Dica: Você vai precisar do Teorema das Probabilidades Totais, que no curso foi chamado de “Lema”. Vocé também vai precisar do Teorema da Multiplicação.)
Passo 1
O enunciado pede: provar o Teorema de Bayes. Para ficar claro o que significa provar aqui, vou trabalhar no cenário padrão do enunciado do teorema:
- Temos eventos
que formam uma partição do espaço amostral (ou seja, são mutuamente disjuntos e é todo o espaço). Além disso assumimos para todo . - Temos um evento
tal que . - O que se pede provar é a fórmula que dá a probabilidade condicional de um dos blocos da partição dado que
ocorreu, isto é, uma expressão para em termos de e .
O enunciado deu a dica de que vou precisar do Teorema das Probabilidades Totais (o “Lema”) e do Teorema da Multiplicação. Vou usar esses resultados como ferramentas: mais adiante eu os explico e os uso para derivar a fórmula de Bayes passo a passo.
Passo 2
Definição (probabilidade condicional). Para dois eventos
e
com
, a probabilidade condicional de
dado
é definida por
Explicação:
é a probabilidade de
quando sabemos que
ocorreu; dividimos a probabilidade conjunta
pela probabilidade do condicionante
para “recalibrar” as chances dentro do universo onde
acontece.
Passo 3
Teorema da Multiplicação (derivado da definição). Rearranjando a definição acima, obtemos a relação
válida sempre que
. Interpretação: para calcular a probabilidade dos dois eventos ocorrerem juntos, multiplica-se a probabilidade de um dos eventos pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro.
Vou aplicar essa fórmula com
e
quando precisar do numerador em
.
Passo 4
Teorema das Probabilidades Totais (Lema). Se
formam uma partição do espaço amostral e
para todo
, então para qualquer evento
vale
Usando a fórmula da multiplicação para cada termo
, isso pode ser escrito também como
Explicação das etapas: como os
dividem o espaço, o evento
pode ser decomposto na união disjunta dos eventos
. A probabilidade da união disjunta é a soma das probabilidades, daí a primeira igualdade; em seguida substitui-se cada interseção pela multiplicação por probabilidade condicional.
Passo 5
Prova do Teorema de Bayes. Começo pela definição da probabilidade condicional que queremos obter:
Pelo Teorema da Multiplicação (passo 3) podemos reescrever o numerador:
Pelo Teorema das Probabilidades Totais (passo 4) podemos substituir o denominador por uma soma:
Substituindo numerador e denominador na expressão inicial para
obtemos a fórmula de Bayes:
Comentário final: esta fórmula dá a “probabilidade a posteriori” de
após observar
, em termos das probabilidades “a priori”
e das verossimilhanças
. Lembre-se das hipóteses necessárias:
para todo
e
(para que a divisão seja válida).