(2 pts.) Prove o Teorema de Bayes. (Dica: Você vai precisar do Teorema das Probabilidades Totais, que no curso foi chamado de “Lema”. Vocé também vai precisar do Teorema da Multiplicação.)

Passo 1

O enunciado pede: provar o Teorema de Bayes. Para ficar claro o que significa provar aqui, vou trabalhar no cenário padrão do enunciado do teorema:
  • Temos eventos B_1,B_2,\dots,B_n que formam uma partição do espaço amostral (ou seja, são mutuamente disjuntos e \bigcup_{i=1}^n B_i é todo o espaço). Além disso assumimos P(B_i)>0 para todo i.
  • Temos um evento A tal que P(A)>0.
  • O que se pede provar é a fórmula que dá a probabilidade condicional de um dos blocos da partição dado que A ocorreu, isto é, uma expressão para P(B_j\mid A) em termos de P(A\mid B_i) e P(B_i).
O enunciado deu a dica de que vou precisar do Teorema das Probabilidades Totais (o “Lema”) e do Teorema da Multiplicação. Vou usar esses resultados como ferramentas: mais adiante eu os explico e os uso para derivar a fórmula de Bayes passo a passo.

Passo 2

Definição (probabilidade condicional). Para dois eventos X e Y com P(Y)>0, a probabilidade condicional de X dado Y é definida por
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.
Explicação: P(X\mid Y) é a probabilidade de X quando sabemos que Y ocorreu; dividimos a probabilidade conjunta P(X\cap Y) pela probabilidade do condicionante P(Y) para “recalibrar” as chances dentro do universo onde Y acontece.

Passo 3

Teorema da Multiplicação (derivado da definição). Rearranjando a definição acima, obtemos a relação
P(X\cap Y)=P(X\mid Y)\,P(Y),
válida sempre que P(Y)>0. Interpretação: para calcular a probabilidade dos dois eventos ocorrerem juntos, multiplica-se a probabilidade de um dos eventos pela probabilidade condicional do outro dado o primeiro.
Vou aplicar essa fórmula com X=A e Y=B_j quando precisar do numerador em P(B_j\mid A).

Passo 4

Teorema das Probabilidades Totais (Lema). Se B_1,\dots,B_n formam uma partição do espaço amostral e P(B_i)>0 para todo i, então para qualquer evento A vale
P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i).
Usando a fórmula da multiplicação para cada termo P(A\cap B_i)=P(A\mid B_i)P(B_i), isso pode ser escrito também como
P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i).
Explicação das etapas: como os B_i dividem o espaço, o evento A pode ser decomposto na união disjunta dos eventos A\cap B_i. A probabilidade da união disjunta é a soma das probabilidades, daí a primeira igualdade; em seguida substitui-se cada interseção pela multiplicação por probabilidade condicional.

Passo 5

Prova do Teorema de Bayes. Começo pela definição da probabilidade condicional que queremos obter:
P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j\cap A)}{P(A)},\qquad\text{(é preciso que }P(A)>0\text{)}.é
Pelo Teorema da Multiplicação (passo 3) podemos reescrever o numerador:
P(B_j\cap A)=P(A\cap B_j)=P(A\mid B_j)\,P(B_j).
Pelo Teorema das Probabilidades Totais (passo 4) podemos substituir o denominador por uma soma:
P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i).
Substituindo numerador e denominador na expressão inicial para P(B_j\mid A) obtemos a fórmula de Bayes:
P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i)}.
Comentário final: esta fórmula dá a “probabilidade a posteriori” de B_j após observar A, em termos das probabilidades “a priori” P(B_i) e das verossimilhanças P(A\mid B_i). Lembre-se das hipóteses necessárias: P(B_i)>0 para todo i e P(A)>0 (para que a divisão seja válida).

Resposta

P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A\mid B_i)\,P(B_i)}

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