( 2 pts.) Chips de celulares são comprados e armazenados em duas caixas. Na caixa 1, há 4 chips com defeito e 16 bons; na caixa 2 , há 1 chip defeituoso e 1 bom. Joga-se um dado equilibrado. Se sair 1 ou 2 no dado, seleciona-se um chip ao acaso na caixa 1 ; caso contrário, faz-se o mesmo tipo de seleçāo na caixa 2 . Se, ao final do experimento, o chip selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de que este tenha vindo da caixa 2 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta, sem resolver ainda.
  • Na caixa 1 há 4 chips defeituosos e 16 bons.
  • Na caixa 2 há 1 chip defeituoso e 1 bom.
  • Um dado equilibrado é lançado; se sair 1 ou 2 escolhe-se um chip da caixa 1; caso contrário (saindo 3,4,5,6) escolhe-se da caixa 2.
  • Pergunta: dado que o chip selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de que ele tenha vindo da caixa 2?
Informações úteis extraídas (diretamente do enunciado):
  • Probabilidade de escolher a caixa 1: \Pr(\text{Caixa 1})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
  • Probabilidade de escolher a caixa 2: \Pr(\text{Caixa 2})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.
  • Probabilidade, ao pegar na caixa 1, de sair um defeituoso: isso depende dos números 4 e 16 (vou calcular adiante).
  • Probabilidade, ao pegar na caixa 2, de sair um defeituoso: isso depende dos números 1 e 1.

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (aulas rápidas e gentis sobre probabilidade condicional e Teorema de Bayes).
  • Evento que nos interessa chamar de \text{B2}: “o chip veio da caixa 2”.
  • Evento \text{D}: “o chip selecionado é defeituoso”.
  • O que queremos calcular é a probabilidade condicionada \Pr(\text{B2}\mid \text{D}): a probabilidade de ter vindo da caixa 2 sabendo que o chip é defeituoso.
Teorema de Bayes (forma útil aqui):
\Pr(\text{B2}\mid \text{D})=\frac{\Pr(\text{D}\mid \text{B2})\Pr(\text{B2})}{\Pr(\text{D})}.
Explicando cada termo:
  • \Pr(\text{D}\mid \text{B2}) é a probabilidade de tirar um defeituoso se já sabemos que a seleção foi feita na caixa 2.
  • \Pr(\text{B2}) é a probabilidade a priori de escolher a caixa 2 (antes de saber se o chip é defeituoso).
  • \Pr(\text{D}) é a probabilidade total de obter um chip defeituoso — ela é obtida pela regra da probabilidade total:
\Pr(\text{D})=\Pr(\text{D}\mid \text{B1})\Pr(\text{B1})+\Pr(\text{D}\mid \text{B2})\Pr(\text{B2}),
onde \text{B1} é o evento “veio da caixa 1”.

Passo 3

Calcular as probabilidades condicionais simples (essas vêm direto dos contagens nas caixas).
  • Na caixa 1 há 4 defeituosos e 16 bons, total 4+16=20. Logo
\Pr(\text{D}\mid \text{B1})=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}.
  • Na caixa 2 há 1 defeituoso e 1 bom, total 1+1=2. Logo
\Pr(\text{D}\mid \text{B2})=\frac{1}{2}.
  • Já tínhamos as probabilidades de escolher cada caixa:
\Pr(\text{B1})=\frac{1}{3},\qquad \Pr(\text{B2})=\frac{2}{3}.

Passo 4

Calcular a probabilidade total de obter um defeituoso, usando a regra da probabilidade total:
\Pr(\text{D})=\Pr(\text{D}\mid \text{B1})\Pr(\text{B1})+\Pr(\text{D}\mid \text{B2})\Pr(\text{B2}).
Substituindo os valores que já achamos:
\Pr(\text{D})=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right).
Agora calculo passo a passo:
\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{15}, \qquad \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}.
Somando:
\Pr(\text{D})=\frac{1}{15}+\frac{1}{3}=\frac{1}{15}+\frac{5}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Bayes para achar \Pr(\text{B2}\mid \text{D}):
\Pr(\text{B2}\mid \text{D})=\frac{\Pr(\text{D}\mid \text{B2})\Pr(\text{B2})}{\Pr(\text{D})} =\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)}{\frac{2}{5}}.
Calculo o numerador:
\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}.
Agora a razão:
\Pr(\text{B2}\mid \text{D})=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{5}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{6}.
Interpretação rápida e motivadora: faz sentido que essa probabilidade seja alta ( \tfrac{5}{6}), porque a caixa 2 tem taxa de defeito muito maior ( \tfrac{1}{2}) apesar de ser escolhida com mais frequência; quando aparece um defeituoso é bem mais provável que venha da caixa 2.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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