( 2 pts.) Chips de celulares são comprados e armazenados em duas caixas. Na caixa 1, há 4 chips com defeito e 16 bons; na caixa 2 , há 1 chip defeituoso e 1 bom. Joga-se um dado equilibrado. Se sair 1 ou 2 no dado, seleciona-se um chip ao acaso na caixa 1 ; caso contrário, faz-se o mesmo tipo de seleçāo na caixa 2 . Se, ao final do experimento, o chip selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de que este tenha vindo da caixa 2 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta, sem resolver ainda.
- Na caixa 1 há
chips defeituosos e bons. - Na caixa 2 há
chip defeituoso e bom. - Um dado equilibrado é lançado; se sair
ou escolhe-se um chip da caixa 1; caso contrário (saindo ) escolhe-se da caixa 2. - Pergunta: dado que o chip selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de que ele tenha vindo da caixa 2?
Informações úteis extraídas (diretamente do enunciado):
- Probabilidade de escolher a caixa 1:
. - Probabilidade de escolher a caixa 2:
. - Probabilidade, ao pegar na caixa 1, de sair um defeituoso: isso depende dos números
e (vou calcular adiante). - Probabilidade, ao pegar na caixa 2, de sair um defeituoso: isso depende dos números
e .
Passo 2
Explicando a ferramenta que vamos usar (aulas rápidas e gentis sobre probabilidade condicional e Teorema de Bayes).
- Evento que nos interessa chamar de
: “o chip veio da caixa 2”. - Evento
: “o chip selecionado é defeituoso”. - O que queremos calcular é a probabilidade condicionada
: a probabilidade de ter vindo da caixa 2 sabendo que o chip é defeituoso.
Teorema de Bayes (forma útil aqui):
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade de tirar um defeituoso se já sabemos que a seleção foi feita na caixa 2. -
é a probabilidade a priori de escolher a caixa 2 (antes de saber se o chip é defeituoso). -
é a probabilidade total de obter um chip defeituoso — ela é obtida pela regra da probabilidade total:
onde
é o evento “veio da caixa 1”.
Passo 3
Calcular as probabilidades condicionais simples (essas vêm direto dos contagens nas caixas).
- Na caixa 1 há
defeituosos e bons, total . Logo
- Na caixa 2 há
defeituoso e bom, total . Logo
- Já tínhamos as probabilidades de escolher cada caixa:
Passo 4
Calcular a probabilidade total de obter um defeituoso, usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores que já achamos:
Agora calculo passo a passo:
Somando:
Passo 5
Aplicar o Teorema de Bayes para achar
:
Calculo o numerador:
Agora a razão:
Interpretação rápida e motivadora: faz sentido que essa probabilidade seja alta (
), porque a caixa 2 tem taxa de defeito muito maior (
) apesar de ser escolhida com mais frequência; quando aparece um defeituoso é bem mais provável que venha da caixa 2.