Um survey realizado com 45 vereadores de capitais brasileiras indicou que 62 \% deles defendem aumentar o orçamento de políticas sociais para juventude. Determine o intervalo de confiança de 95 \% para a proporção de vereadores de capitais brasileiras que defendem aumento de orçamento para políticas de juventude.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede um intervalo de confiança:
  • Tamanho da amostra: n=45.
  • Proporção observada (survey): 62\% dos vereadores da amostra defendem aumentar o orçamento para políticas de juventude.
O que se pede: determinar o intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p de vereadores de capitais brasileiras que defendem esse aumento de orçamento.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p} em forma decimal (essa é a estimativa pontual de p):
\hat{p}=0,62.

Passo 3

Escolher o método: usar o intervalo de confiança clássico para proporção baseado na aproximação normal (método mais básico e comum).
Antes de aplicar, verificar a condição de validade da aproximação normal: queremos que n\hat{p} e n(1-\hat{p}) sejam aproximadamente maiores que 5.
n\hat{p}=45\cdot0,62=27,9\quad\text{e}\quad n(1-\hat{p})=45\cdot0,38=17,1,
ambos bem maiores que 5. Portanto a aproximação normal é apropriada aqui.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha (aqui 95\% tem \alpha=0,05) para proporção usando a normal:
\text{IC}_{1-\alpha} = \hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explicando cada termo:
  • \hat{p} é a proporção amostral (estimador pontual).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 de cada lado; para 95\% é z_{0,975}.
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão da proporção (desvio padrão do estimador \hat{p}).

Passo 5

Calcular o erro padrão (EP):
\text{EP}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,62\cdot0,38}{45}}.
Fazendo as contas passo a passo:
0,62\cdot0,38=0,2356,
\dfrac{0,2356}{45}=0,005235555\ldots,
\text{EP}=\sqrt{0,005235555\ldots}\approx0,07236.

Passo 6

Determinar o valor crítico z_{0,975} para 95\%: é o quantil tal que P(Z\le z_{0,975})=0,975 com Z\sim N(0,1). O valor conhecido é
z_{0,975}=1,96.

Passo 7

Calcular a margem de erro E:
E = z_{0,975}\cdot\text{EP}=1,96\cdot0,07236\approx0,1418.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro:
\text{limite inferior}=\hat{p}-E=0,62-0,1418\approx0,4782,
\text{limite superior}=\hat{p}+E=0,62+0,1418\approx0,7618.
Em porcentagem isso equivale aproximadamente a 47,8\% a 76,2\%.

Passo 9

Interpretação (curta e motivadora): com 95\% de confiança, o verdadeiro percentual de vereadores de capitais que defendem aumentar o orçamento para políticas de juventude está entre cerca de 47,8\% e 76,2\%. Ou seja, a amostra sugere que pode ser menor que 50\% ou substancialmente maior — a amostra é relativamente pequena, por isso o intervalo é largo. Se quiser um intervalo mais preciso, seria necessário aumentar n.

Resposta

\displaystyle (0,478\;;\;0,762)

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