• (2,0 pts) Questāo 2. Calcule a área da região do 1^{\circ} quadrante que está dentro do cardióide r=1+\cos \theta e fora da circunferência r=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do 1º quadrante que está dentro do cardioide
r = 1 + \cos\theta
e fora da circunferência
r = 1.
O conteúdo envolvido é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
\Delta A = \tfrac12\,r^2\,\Delta\theta
e, para regiões entre duas curvas,
\displaystyle A = \frac12\int_{\theta_1}^{\theta_2}\bigl(r_{\rm ext}^2 - r_{\rm int}^2\bigr)\,d\theta.

Passo 2

Precisamos encontrar os ângulos em que as duas curvas se intersectam:
1 + \cos\theta = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \tfrac{\pi}{2}.
No 1º quadrante, \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Para 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2} temos \cos\theta \ge 0, logo
1 + \cos\theta \ge 1,
isto é, o bordo do cardioide está sempre “por fora” da circunferência. Assim, em cada \theta do intervalo, o raio interno é r_{\rm int}=1 e o externo é r_{\rm ext}=1+\cos\theta. Portanto
A = \frac12\int_{0}^{\pi/2}\bigl[(1+\cos\theta)^2 - 1^2\bigr]\,d\theta.

Passo 4

Expandindo o integrando e separando termos:
(1+\cos\theta)^2 - 1 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta - 1 = 2\cos\theta + \cos^2\theta.
Então
A = \frac12\int_{0}^{\pi/2}\bigl(2\cos\theta + \cos^2\theta\bigr)\,d\theta = \frac12\Bigl[2\!\underbrace{\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta}_{1} \;+\;\underbrace{\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta}_{\pi/4}\Bigr].

Passo 5

Sabendo que
\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = 1
e
\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \tfrac{\pi}{4},
temos
A = \frac12\Bigl(2\cdot1 + \frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac12\Bigl(2 + \frac{\pi}{4}\Bigr) = 1 + \frac{\pi}{8}.

Resposta

A área desejada é
1 + \frac{\pi}{8}.

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