• (2,0 pts) Questão 1. Calcule
I=\int_{1}^{e} \int_{1}^{r^{2}} \int_{1}^{n^{3}} \frac{1}{x y z} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
I=\int_{1}^{e}\int_{1}^{x^{2}}\int_{1}^{y^{3}}\frac{1}{x\,y\,z}\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é técnicas de integrais iteradas e uso de mudança de variável para simplificar integrais. Vamos integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x, usando ao final a substituição t=\ln x.

Passo 2

Integramos em z mantendo x e y fixos:
\int_{1}^{y^{3}}\frac{1}{z}\,dz =\bigl[\ln z\bigr]_{1}^{y^{3}} =\ln\bigl(y^{3}\bigr)-\ln(1) =3\ln y.
Logo a integral vira
I=\int_{1}^{e}\int_{1}^{x^{2}}\frac{1}{x\,y}\,\bigl(3\ln y\bigr)\,dy\,dx =\int_{1}^{e}\frac{3}{x}\int_{1}^{x^{2}}\frac{\ln y}{y}\,dy\,dx.

Passo 3

Calculemos
\int_{1}^{x^{2}}\frac{\ln y}{y}\,dy.
Usamos a primitiva \int\frac{\ln y}{y}\,dy=\tfrac12(\ln y)^{2}. Assim
\int_{1}^{x^{2}}\frac{\ln y}{y}\,dy =\frac12\bigl(\ln(x^{2})\bigr)^{2} -\frac12(\ln1)^{2} =\frac12\bigl(2\ln x\bigr)^{2} =2(\ln x)^{2}.
Portanto
I=\int_{1}^{e}\frac{3}{x}\cdot 2(\ln x)^{2}\,dx =6\int_{1}^{e}\frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int_{1}^{e}\frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx, fazemos t=\ln x, logo dt=\tfrac{dx}{x} e quando x=1 temos t=0, quando x=e temos t=1. Assim
\int_{1}^{e}\frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx =\int_{0}^{1}t^{2}\,dt =\bigl[\tfrac{t^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.
Então
I=6\cdot \frac{1}{3}=2.

Resposta

I = 2

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