• (2,0 pts) Questão 3. Encontre o momento de inércia em relação ao eixo y de uma placa triangular fina, delimitada pelo eixo y e pelas retas y=x e y=2-x, com densidade \delta(x, y)=3 x+3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma placa triangular fina com densidade \delta(x,y)=3x+3, limitada pelas retas x=0, y=x e y=2-x. Queremos o momento de inércia em relação ao eixo y. Para isso usaremos a definição
I_y=\iint_{R}x^2\,\delta(x,y)\,dA.

Passo 2

Precisamos descrever a região R. As interseções de x=0, y=x e y=2-x são os pontos (0,0), (0,2) e (1,1). Um modo simples de parametrizar é:
x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de y=x até y=2-x.

Passo 3

Montamos então o integral iterado para I_y:
I_y=\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x}^{2-x}x^2\bigl(3x+3\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em y:
\int_{y=x}^{2-x}x^2(3x+3)\,dy =x^2(3x+3)\bigl[(2-x)-x\bigr] =x^2(3x+3)(2-2x).
Observando 3x+3=3(x+1) e 2-2x=2(1-x), fica
x^2\cdot3(x+1)\cdot2(1-x) =6\,x^2(x+1)(1-x) =6\bigl(x^2-x^4\bigr).

Passo 5

Agora integramos em x:
I_y=\int_{0}^{1}6\bigl(x^2-x^4\bigr)\,dx =6\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} =6\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Bigr) =6\cdot\tfrac{2}{15} =\tfrac{12}{15} =\tfrac{4}{5}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{4}{5}

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