(3,5 pts.) Questão 2. Considere a matriz A=[cccc3 & 5 & -2 & 6 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & 1 & 5 3 & 7 & 5 & 3]. Determine : (2,5 pts.)(a) det A.
(0,5 pt.)(b) det(A^t).
(0,5 pt.)(c) det(A^2).
Observação: Lembre-se que, fixando a linha i da matriz A, det A=sumj=1^n ai j De<ai j, em que De<ai j=(-1)^i+j cdot det A(i mid j).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & 5 & -2 & 6 1 & 2 & -1 & 1 2 & 4 & 1 & 5 3 & 7 & 5 & 3
e pede (a) det A, (b) det(A^t) e (c) det(A^2). Vamos usar o fato de que trocar duas linhas inverte o sinal do determinante, somar múltiplos de uma linha a outra não o altera, e as propriedades
det(A^t)=det(A), det(A^2)=l(det Ar)^2

Passo 2

Para calcular det A triangularizamos por eliminação de Gauss, controlando o efeito no determinante:
  1. Troca-se R1rightarrow R2, o que multiplica o determinante por -1. A matriz vira
1 & 2 & -1 & 1 3 & 5 & -2 & 6 2 & 4 & 1 & 5 3 & 7 & 5 & 3
  1. Zera-se abaixo do pivô a11=1 pelas operações
R2to R2-3R1, R3to R3-2R1, R4to R4-3R1,
sem alterar o determinante. Obtém‐se
1 & 2 & -1 & 1 0 & -1 & 1 & 3 0 & 0 & 3 & 3 0 & 1 & 8 & 0
  1. Zera-se em a42=1 com
R4to R4+R2
ficando
1 & 2 & -1 & 1 0 & -1 & 1 & 3 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 9 & 3
  1. Por fim, elimina‐se 9 em a43 com
R4to R4-3R3,
chegando à forma triangular
1 & 2 & -1 & 1 0 & -1 & 1 & 3 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & -6
O produto dos pivôs é
1cdot(-1)cdot3cdot(-6)=18,
que é o determinante da matriz após a troca de linhas. Como houve uma troca,
det A = -,18 = -18

Passo 3

Pelo teorema de que a transposta não altera o determinante,
det(A^t)=det(A)=-18
E pelo fato de que det(A^2)=l(det Ar)^2,
det(A^2)=(-18)^2=324

Resposta

(a) -18
(b) -18
(c) 324

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