(3,0 pts.) Questão 1. Considere o sistema de equações lineares:
2 x+2 y+2 z & =0 -2 x+5 y+2 z & =1 8 x+y+k z & =-1
Utilizando o método do escalonamento, determine os valores de k (e obtenha as soluções) de modo que o sistema acima tenha:
(a) Solução única.
(b) Infinitas soluções.
(c) Nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro
Vamos usar o método do escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar condições em (k] que gerem solução única, infinitas ou nenhuma.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
[ccc|c 2 & 2 & 2 & 0 -2 & 5 & 2 & 1 8 & 1 & k & -1 ]
Aplicando
L2 L2+L1, L3 L3-4L1
obtemos
[ccc|c 2 & 2 & 2 & 0 0 & 7 & 4 & 1 0 & -7 & k-8 & -1 ]

Passo 3

Eliminamos o termo em y na terceira linha somando L2 a L3:
L3 L3+L2 ;Longrightarrow; [ccc|c 2 & 2 & 2 & 0 0 & 7 & 4 & 1 0 & 0 & k-4 & 0 ]
A última equação é
(k-4),z = 0

Passo 4

Se kneq 4, então da última equação vem z=0.
Substituindo em 0cdot x+7y+4z=1 7y=1, logo y=tfrac17.
Finalmente, em 2x+2y+2z=0 temos 2x+2cdottfrac17=0, então x=-tfrac17.
Logo, para kneq4 há solução única
(x,y,z)=l(-tfrac17,;tfrac17,;0r)

Passo 5

Se k=4, a última equação fica 0cdot z=0, que é trivial, e z torna-se parâmetro livre, digamos z=t.
Da segunda linha 7y+4t=1 segue y=(1-4t)/7.
Da primeira linha 2x+2y+2t=0 segue
x = -l(y+tr) = -1-4t7-t = -1+3t7
Portanto, para k=4 há infinitas soluções
(x,y,z) =l(-tfrac1+3t7,;tfrac1-4t7,;tr), tinR

Passo 6

Não surgiu nenhuma condição que leve a uma equação do tipo 0=,não-zeroã. Logo não há valor de k que torne o sistema impossível.

Resposta

(a) Para kneq 4 o sistema tem solução única
(x,y,z)=l(-tfrac17,;tfrac17,;0r)
(b) Para k=4 o sistema tem infinitas soluções
(x,y,z) =l(-tfrac1+3t7,;tfrac1-4t7,;tr), tinR
(c) Não existe valor de k que torne o sistema sem solução.

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