Dados três vetores u, v e w não nulos, em que condições eles não seriam coplanares? Justifique geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para identificar em que condições três vetores não nulos vec u, vec v e vec w partindo da mesma origem não ficam todos no mesmo plano. Vamos usar os conceitos de combinação linear e produto triplo escalar (produto misto) para dar uma justificativa geométrica.

Passo 2

Geometricamente, três vetores são coplanares se eles “ficam” no mesmo plano que passa pela origem. Se um deles sai desse plano, então formam um paralelepípedo de “altura” não nula sobre a base dada pelos outros dois vetores.
Algebricamente, dizer que vec w está no plano gerado por vec u e vec v é o mesmo que existir escalares a,bin R tais que
vec w = a,vec u + b,vec v
Nesse caso não há “altura” fora do plano.

Passo 3

O produto triplo escalar
(vec u times vec v)cdot vec w
dá o volume orientado do paralelepípedo com arestas vec u, vec v e vec w. Se esse volume for zero, a “altura” some e os vetores são coplanares; se for diferente de zero, sobra “altura” e eles não ficam no mesmo plano.
Portanto, os três vetores não serão coplanares exatamente quando o produto triplo escalar for diferente de zero, ou seja,
(vec u times vec v)cdot vec w neq 0

Resposta

Os vetores vec u, vec v e vec w não são coplanares se, e somente se,
(vec u times vec v)cdot vec w neq 0,
pois isso garante um volume não nulo para o paralelepípedo que eles formam.

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