Dados três vetores
e
não nulos, em que condições eles não seriam coplanares? Justifique geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para identificar em que condições três vetores não nulos
,
e
partindo da mesma origem não ficam todos no mesmo plano. Vamos usar os conceitos de combinação linear e produto triplo escalar (produto misto) para dar uma justificativa geométrica.
Passo 2
Geometricamente, três vetores são coplanares se eles “ficam” no mesmo plano que passa pela origem. Se um deles sai desse plano, então formam um paralelepípedo de “altura” não nula sobre a base dada pelos outros dois vetores.
Algebricamente, dizer que está no plano gerado por
e
é o mesmo que existir escalares
tais que
Algebricamente, dizer que
Nesse caso não há “altura” fora do plano.
Passo 3
O produto triplo escalar
dá o volume orientado do paralelepípedo com arestas
,
e
. Se esse volume for zero, a “altura” some e os vetores são coplanares; se for diferente de zero, sobra “altura” e eles não ficam no mesmo plano.
Portanto, os três vetores não serão coplanares exatamente quando o produto triplo escalar for diferente de zero, ou seja,
Portanto, os três vetores não serão coplanares exatamente quando o produto triplo escalar for diferente de zero, ou seja,
Resposta
Os vetores
,
e
não são coplanares se, e somente se,
pois isso garante um volume não nulo para o paralelepípedo que eles formam.