- (2,0 pts) Questão 3. Seja
o sólido delimitado superiormente pela esfera
inferiormente pelo cone
.
a) Escreva e calcule o volume do sólido
usando integrais triplas com coordenadas cilíndricas;
b) Escreva o volume do sólido
usando integrais triplas com coordenadas esféricas (sem calcular).
a) Escreva e calcule o volume do sólido
b) Escreva o volume do sólido
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido
que fica embaixo da esfera
e em cima do cone
Isso é Cálculo 3, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas (parte a) e depois só escrever em coordenadas esféricas (parte b). Precisamos:
- Saber a troca para cilindricas e esféricas;
- Entender o jacobiano (
em cilindricas, em esféricas); - Determinar limites cortando cone e esfera.
Passo 2
(coordenadas cilíndricas)
Em cilíndricas usamos
Em cilíndricas usamos
A região
é dada por
- ficar dentro da esfera:
, ou ; - ficar acima do cone:
; - dar uma volta completa em
.
Para achar até onde vai, igualamos esfera e cone:
Logo os limites são
A integral vira
Passo 3
(calculando em cilíndricas)
- Integramos primeiro em
:
Então
- Separamos em duas integrais:
\quad (i).
Com,
\quad (ii)
3) Então
3) Então
Passo 4
(coordenadas esféricas)
Em esféricas:
Em esféricas:
O cone
vira
.
A esfera é . Então sem calcular, escrevemos
A esfera é
Resposta
Volume final em cilíndricas:
Em esféricas basta usar