• (2,0 pts) Questão 3. Seja S o sólido delimitado superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.
    a) Escreva e calcule o volume do sólido S usando integrais triplas com coordenadas cilíndricas;
    b) Escreva o volume do sólido S usando integrais triplas com coordenadas esféricas (sem calcular).

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido S que fica embaixo da esfera
x^2+y^2+z^2=4
e em cima do cone
z=raizx^2+y^2,
Isso é Cálculo 3, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas (parte a) e depois só escrever em coordenadas esféricas (parte b). Precisamos:
  • Saber a troca para cilindricas e esféricas;
  • Entender o jacobiano ( r em cilindricas, rho^2sinphi em esféricas);
  • Determinar limites cortando cone e esfera.

Passo 2

(coordenadas cilíndricas)
Em cilíndricas usamos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV=r,dr,dtheta,dz
A região S é dada por
  1. ficar dentro da esfera: r^2+z^2<=4, ou z<=raiz4-r^2;
  2. ficar acima do cone: z>= r;
  3. dar uma volta completa em thetain[0,2pi].
    Para achar até onde vai r, igualamos esfera e cone:
r^2 + r^2 =4;Longrightarrow;r=raiz2,;z=raiz2
Logo os limites são
0<=theta<=2pi, 0<= r<=raiz2, r<= z<=raiz4-r^2
A integral vira
V=integral0^2pi!!integral0^raiz2!!integralz=r^z=raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta,

Passo 3

(calculando em cilíndricas)
  1. Integramos primeiro em z:
integralr^raiz4-r^2r,dz = rl(raiz4-r^2-rr)
Então
V=integral0^2pidtheta;integral0^raiz2rl(raiz4-r^2-rr),dr =2piintegral0^raiz2l[rraiz4-r^2-r^2r]dr
  1. Separamos em duas integrais:
    \quad (i) I1=integral0^raiz2rraiz4-r^2,dr.
    Com u=4-r^2;Rightarrow;du=-2r,dr,
I1=-tfrac12integralu=4^2!raiz u,du =tfrac12integral2^4u^1/2du =tfrac12cdottfrac23l[u^3/2r]2^4 =tfrac13(8-2raiz2) =8-2raiz23
\quad (ii) I2=integral0^raiz2r^2,dr =l[r^3/3r]0^raiz2 =tfrac2raiz23
3) Então
V =2pil(tfrac8-2raiz23-tfrac2raiz23r) =2pi;8-4raiz23 =2pi(8-4raiz2)3 =8pi(2-raiz2)3

Passo 4

(coordenadas esféricas)
Em esféricas:
x=rhosinphicostheta,; y=rhosinphisintheta,; z=rhocosphi,; dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
O cone z=r vira rhocosphi=rhosinphi;Rightarrow;phi=pi/4.
A esfera é rho=2. Então sem calcular, escrevemos
V=integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/4!integralrho=0^2 rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Resposta

Volume final em cilíndricas:
boxedV=8pi(2-raiz2)3
Em esféricas basta usar
V=integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral0^2rho^2sinphi, drho,dphi,dtheta,

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