A região delimitada pela curva
e pelas retas
em torno do eixo y, descrevendo um sólido de revolução para o cálculo do volume do sólido
:
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.
Passo 1
Vamos desenrolar o que o enunciado pede. A região no plano é delimitada pelas curvas
e
sem nenhuma outra restrição em
. Em outras palavras, é o conjunto
Ao girar essa região em torno do eixo
obtemos um sólido de revolução
. Vamos montar a integral do volume pelos dois métodos:
- seção transversal (discos);
- cascas cilíndricas.
Passo 2
Método das seções transversais (discos):
- Cortes perpendiculares ao eixo de rotação
são feitos por planos horizontais . - Em um dado nível
, a interseção da região com este plano é o segmento de até . - Ao girar esse segmento em torno do eixo
formamos um disco de raio
- A área desse disco é
- O volume total é
que diverge (é infinito), pois
Passo 3
Método das cascas cilíndricas:
- Cortes paralelos ao eixo
são feitos por retas verticaisy .x=constante - Em cada
, a altura da casca éx>=0
- O raio da casca até o eixo
éy . A área lateral elementar éx
- O volume total é
que também diverge, pois
Resposta
Em ambos os métodos o volume diverge, isto é,