A região delimitada pela curva y=x^3 e pelas retas y=0 em torno do eixo y, descrevendo um sólido de revolução para o cálculo do volume do sólido S :
a. Usando seção transversais;
b. Usando cascas cilíndricas.

Passo 1

Vamos desenrolar o que o enunciado pede. A região no plano é delimitada pelas curvas
y = x^3
e
y = 0,
sem nenhuma outra restrição em x. Em outras palavras, é o conjunto
(x,y)mid x>=0,;0<= y<= x^3
Ao girar essa região em torno do eixo y obtemos um sólido de revolução S. Vamos montar a integral do volume pelos dois métodos:
  • seção transversal (discos);
  • cascas cilíndricas.

Passo 2

Método das seções transversais (discos):
  1. Cortes perpendiculares ao eixo de rotação y são feitos por planos horizontais y=constante.
  2. Em um dado nível y>=0, a interseção da região com este plano é o segmento de x=0 até x = y^1/3.
  3. Ao girar esse segmento em torno do eixo y formamos um disco de raio
R(y) = y^1/3
  1. A área desse disco é
A(y) = pil(R(y)r)^2 = pi,y^2/3
  1. O volume total é
V = integraly=0^+infty A(y),dy = integral0^infty pi,y^2/3,dy,
que diverge (é infinito), pois
integral0^infty y^2/3,dy =limbtoinftyy^5/35/3|0^b =35,limbtoinftyb^5/3 =+infty

Passo 3

Método das cascas cilíndricas:
  1. Cortes paralelos ao eixo y são feitos por retas verticais x=constante.
  2. Em cada x>=0, a altura da casca é
h(x)=l(ymax-yminr)=x^3-0=x^3
  1. O raio da casca até o eixo y é x. A área lateral elementar é
dA = 2pi,(,raio,),(a<ura) = 2pi,xcdot x^3 = 2pi,x^4
  1. O volume total é
V = integralx=0^+infty2pi,x^4,dx =2piintegral0^inftyx^4,dx,
que também diverge, pois
integral0^inftyx^4,dx =limbtoinftyx^55|0^b =15,limbtoinftyb^5 =+infty

Resposta

Em ambos os métodos o volume diverge, isto é,
V=+infty

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