(2,0 pts) Questão 5. Utilize a transformação
u=2 x-y2 e v=y2
para calcular a integral
integral duplaR 2 x-y2 d x d y
para a regiāo R no primeiro quadrante delimitada pelas retas x=y / 2, x=y / 2+1 para 0<y<4.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral dupla
integral duplaR2x - y2,dx,dy
na região R do 1º quadrante limitada pelas retas
x= y2, x= y2+1, 0<y<4
Conteúdo: mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos precisar de:
  1. Inverter a transformação u=tfrac2x-y2,,v=tfrac y2 pra achar x,y em função de u,v.
  2. Calcular o jacobiano partial(x,y)partial(u,v).
  3. Mapear a região R no plano (u,v).
  4. Reescrever e calcular a integral.

Passo 2

Inversão da transformação (passo crucial pra trocar variáveis):
u=2x-y2, v= y2
Da segunda equação vem
y=2v
Substituindo em u:
u=2x-2v2=x-v ;Longrightarrow; x=u+v
Agora temos
x(u,v)=u+v, y(u,v)=2v

Passo 3

Cálculo do jacobiano. A ideia é que
dx,dy = l|dettfracpartial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv
Montamos a matriz das parciais:
partial(x,y)partial(u,v) = partial x/partial u & partial x/partial v[6pt] partial y/partial u & partial y/partial v = 1 & 1 0 & 2
O determinante é
J = 1cdot2 - 1cdot0 = 2
Logo
dx,dy = 2,du,dv
]

Passo 4

Mapeando a região R em (u,v):
  • De 0<y<4 vem 0<v<2.
  • Nas retas x=tfrac y2 e x=tfrac y2+1 temos u+v=v e u+v=v+1, isto é u=0 e u=1.
    Então o domínio em (u,v) é o retângulo
0<= u<=1, 0<= v<=2

Passo 5

Reescrevendo a integral:
  • O integrando 2x-y2 virou u.
  • dx,dy virou 2,du,dv.
    Portanto
integral duplaR2x-y2,dx,dy =integralv=0^2!integralu=0^1u;l(2,du,dvr) =2integral0^2!integral0^1u,du,dv
Calculemos:
integral0^1u,du=12, 2integral0^212,dv =2cdot12cdot2=2

Resposta

2

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