(2,0 pts) Questão 5. Utilize a transformação
para calcular a integral
para a regiāo
no primeiro quadrante delimitada pelas retas
para
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular a integral dupla
na região
do 1º quadrante limitada pelas retas
Conteúdo: mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos precisar de:
- Inverter a transformação
pra achar em função de . - Calcular o jacobiano
. - Mapear a região
no plano . - Reescrever e calcular a integral.
Passo 2
Inversão da transformação (passo crucial pra trocar variáveis):
Da segunda equação vem
Substituindo em
:
Agora temos
Passo 3
Cálculo do jacobiano. A ideia é que
Montamos a matriz das parciais:
O determinante é
Logo
]
Passo 4
Mapeando a região
R em
(u,v) :
- De
vem0<y<4 .0<v<2 - Nas retas
ex=tfrac y2 temosx=tfrac y2+1 eu+v=v , isto éu+v=v+1 eu=0 .u=1
Então o domínio em é o retângulo(u,v)
Passo 5
Reescrevendo a integral:
- O integrando
virou2x-y2 .u -
viroudx,dy .2,du,dv
Portanto
Calculemos:
Resposta
2