( 2 pts) Reparametrize, em termos do comprimento de arco, a curva
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+(\sin t-t \cos t) \mathbf{j}+(\cos t+t \sin t) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar, em termos do comprimento de arco s, a curva
\mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+(\sin t - t\cos t)\,\mathbf{j}+(\cos t + t\sin t)\,\mathbf{k}.
O conteúdo envolve cálculo de derivada vetorial, determinação da velocidade \|\mathbf{r}'(t)\|, cálculo do comprimento de arco
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|\mathbf{r}'(u)\|\,du,
inversão da relação s(t) para t(s) e substituição em \mathbf{r}(t).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada vetorial \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}(t^{2})=2t,
\frac{d}{dt}(\sin t - t\cos t) =\cos t -\bigl(\cos t -t\sin t\bigr) =t\sin t,
\frac{d}{dt}(\cos t + t\sin t) =-\sin t +\bigl(\sin t +t\cos t\bigr) =t\cos t.
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\mathbf{r}'(t)=(2t)\,\mathbf{i}+(t\sin t)\,\mathbf{j}+(t\cos t)\,\mathbf{k}.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade \|\mathbf{r}'(t)\|:
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(2t)^{2}+(t\sin t)^{2}+(t\cos t)^{2}} =\sqrt{4t^{2}+t^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)} =\sqrt{5t^{2}} =\sqrt{5}\,\lvert t\rvert.
Assumindo t\ge0, temos \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{5}\,t.

Passo 4

Escolhendo s=0 em t=0, o comprimento de arco até t\ge0 é
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{5}\,u\,du =\sqrt{5}\,\frac{t^{2}}{2} =\frac{\sqrt{5}}{2}\,t^{2}.

Passo 5

Invertendo essa relação para obter t em função de s:
s=\frac{\sqrt{5}}{2}\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{2s}{\sqrt{5}} \quad\Longrightarrow\quad t(s)=\sqrt{\frac{2s}{\sqrt{5}}} \quad(\text{para }s\ge0).

Passo 6

Finalmente substituímos t=t(s) em \mathbf{r}(t). Chamando
\tau(s)=\sqrt{\frac{2s}{\sqrt{5}}},
obtemos a reparametrização por comprimento de arco:
\mathbf{r}(s) =\bigl(\tau(s)^{2}\bigr)\,\mathbf{i} +\bigl(\sin(\tau(s))-\tau(s)\cos(\tau(s))\bigr)\,\mathbf{j} +\bigl(\cos(\tau(s))+\tau(s)\sin(\tau(s))\bigr)\,\mathbf{k}.

Resposta

\boxed{ \mathbf{r}(s) =\left(\frac{2s}{\sqrt{5}}\right)\mathbf{i} +\Bigl(\sin\!\bigl(\sqrt{\tfrac{2s}{\sqrt{5}}}\bigr) -\sqrt{\tfrac{2s}{\sqrt{5}}}\,\cos\!\bigl(\sqrt{\tfrac{2s}{\sqrt{5}}}\bigr)\Bigr)\mathbf{j} +\Bigl(\cos\!\bigl(\sqrt{\tfrac{2s}{\sqrt{5}}}\bigr) +\sqrt{\tfrac{2s}{\sqrt{5}}}\,\sin\!\bigl(\sqrt{\tfrac{2s}{\sqrt{5}}}\bigr)\Bigr)\mathbf{k}, \quad s\ge0. }

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