Avalie a integral \int_{C}\left(x y d x+x^{2} d y\right) se
C é o trajeto definido pela curva y=\frac{1}{3}\left(x^{2}-1\right) entre os pontos (2,1) e (4,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\bigl(xy\,dx + x^{2}\,dy\bigr)
ao longo da curva C definida por
y = \tfrac{1}{3}\bigl(x^{2}-1\bigr)
desde o ponto (2,1) até (4,5).
O conteúdo aqui é integral de linha de uma forma diferencial \omega = M\,dx + N\,dy sobre uma curva C. Vamos parametrizar C em função de x e reduzir a integral a uma integral em uma variável.

Passo 2

Parametrizamos C por
x = t, \quad y = \tfrac{1}{3}\bigl(t^{2}-1\bigr),
com t variando de 2 até 4.
Então
dx = dt, \quad dy = \frac{2t}{3}\,dt.

Passo 3

Substituindo em
\displaystyle \int_{C}(xy\,dx + x^{2}\,dy), obtemos
\int_{t=2}^{4}\Bigl(t\cdot \tfrac{t^{2}-1}{3}\cdot 1 \;+\; t^{2}\cdot \tfrac{2t}{3}\Bigr)\,dt =\int_{2}^{4}\frac{t(t^{2}-1)+2t^{3}}{3}\,dt =\int_{2}^{4}\frac{3t^{3}-t}{3}\,dt =\frac{1}{3}\int_{2}^{4}(3t^{3}-t)\,dt.

Passo 4

Calculamos
\frac{1}{3}\int(3t^{3}-t)\,dt =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{3t^{4}}{4}-\frac{t^{2}}{2}\Bigr) =\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{2}}{6}.
Avaliaremos entre t=2 e t=4:
\Bigl(\frac{4^{4}}{4}-\frac{4^{2}}{6}\Bigr) -\Bigl(\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{2}}{6}\Bigr) =\Bigl(64-\frac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(4-\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{184}{3}-\frac{10}{3} =\frac{174}{3} =58.

Resposta

58

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