(2 pts) Se \mathbf{F}(x, y, z)=y^{2} \cos x \mathbf{i}+\left(2 y \sin x+e^{2 z}\right) \mathbf{j}+2 y e^{2 z} \mathbf{k} é um campo gradiente, determine a função potencial associada e avalie a integral \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} ao longo da curva C que une os pontos \left(0,1, \frac{1}{2}\right) e \left(\frac{\pi}{2}, 3,2\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=y^{2}\cos x\,\mathbf{i}+\bigl(2y\sin x+e^{2z}\bigr)\,\mathbf{j}+2y\,e^{2z}\,\mathbf{k}
e afirma que é gradiente de alguma função \varphi(x,y,z). Queremos achar \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F} e depois usar o Teorema Fundamental dos Campos Conservativos para avaliar
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
entre \bigl(0,1,\tfrac12\bigr) e \bigl(\tfrac\pi2,3,2\bigr), que será \varphi\bigl(\tfrac\pi2,3,2\bigr)-\varphi\bigl(0,1,\tfrac12\bigr).

Passo 2

Como
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =F_{1}(x,y,z)=y^{2}\cos x,
integramos em x, tratando y,z como constantes, e obtemos
\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função arbitrária a determinar.

Passo 3

Impondo
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2y\sin x + \frac{\partial h}{\partial y} \stackrel{!}{=}F_{2}(x,y,z)=2y\sin x+e^{2z},
concluímos \partial h/\partial y=e^{2z}. Integrando em y
h(y,z)=y\,e^{2z}+g(z),
com g(z) por determinar. Finalmente, usando
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =2y\,e^{2z}+g'(z) \stackrel{!}{=}F_{3}(x,y,z)=2y\,e^{2z},
segue g'(z)=0, logo g é constante que podemos tomar zero. Assim
\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x+y\,e^{2z}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\varphi\bigl(x_{2},y_{2},z_{2}\bigr)-\varphi\bigl(x_{1},y_{1},z_{1}\bigr).
Aqui \,(x_{1},y_{1},z_{1})=(0,1,\tfrac12) e \,(x_{2},y_{2},z_{2})=(\tfrac\pi2,3,2). Calculamos
\varphi\bigl(\tfrac\pi2,3,2\bigr) =3^{2}\sin\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)+3\,e^{4} =9+3e^{4},
\varphi\bigl(0,1,\tfrac12\bigr) =1^{2}\sin(0)+1\,e^{1} =0+e=e.
Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =(9+3e^{4})-e.

Resposta

\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + y\,e^{2z}, \qquad \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =9+3e^{4}-e.

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