( 2,3 pts.) Resolva cada um dos seguintes sistemas por clininação Gaussiana:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=1 \\\\ 3 x-y+2 z=10 \\\\ 2 x+y+z=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 1,\\\\ 3x - y + 2z = 10,\\\\ 2x + y + z = 5, \end{cases}
e pede para resolver por eliminação de Gauss. A ideia é montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para alcançar forma triangular.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 3 & -1 & 2 & 10\\\\ 2 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right]
Agora zeramos os coeficientes abaixo de x (primeira coluna) usando
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -7 & 5 & 7\\\\ 0 & -3 & 3 & 3 \end{array}\right].

Passo 3

Para zerar o elemento da posição (3,2) (coluna de y), fazemos
R_3 \leftarrow 7R_3 - 3R_2,
o que leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1\\\\ 0 & -7 & 5 & 7\\\\ 0 & 0 & 6 & 0 \end{array}\right].
Da terceira linha vem 6z = 0, logo
z = 0.

Passo 4

Substituindo z = 0 na segunda linha -7y + 5\cdot 0 = 7 segue
y = -1.
Na primeira linha x + 2y - z = 1
x + 2(-1) - 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

(x,y,z) = (3, -1, 0)

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