Determine o campo vetorial gradiente \nabla f de f :
f(x, y)=(x+y)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o campo vetorial gradiente de f(x,y) = (x+y)^{2}. Vamos usar o conceito de gradiente que diz que
\nabla f(x,y) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigr).

Passo 2

Calculamos \frac{\partial f}{\partial x}. Como f(x,y) = (x+y)^{2}, aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2(x+y)\,\frac{\partial}{\partial x}(x+y) = 2(x+y)\cdot 1 = 2(x+y).

Passo 3

De modo análogo, calculamos \frac{\partial f}{\partial y}. Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = 2(x+y)\,\frac{\partial}{\partial y}(x+y) = 2(x+y)\cdot 1 = 2(x+y).

Resposta

\nabla f(x,y) = \bigl(2(x+y),\,2(x+y)\bigr).

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