(2.0 Pts) Resolva a equação diferencial de primeira ordem
\left(1+e^{x} y+x e^{x} y\right)+\left(x e^{x}+2\right) y^{\prime}=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(1+e^{x}y+x e^{x}y\bigr)+\bigl(x e^{x}+2\bigr)y'=0
e pede a solução geral. Reconhecemos a forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy =0
com
M(x,y)=1+e^{x}y+x e^{x}y, \quad N(x,y)=x e^{x}+2.
O conteúdo que vamos usar é o de equações exatas: verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N.

Passo 2

Compute-mos as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+e^{x}y+x e^{x}y\bigr) =e^{x}+x e^{x},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{x}+2\bigr) =e^{x}+x e^{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \Psi(x,y) com
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) =1+e^{x}y+x e^{x}y.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int\bigl(1+e^{x}y+x e^{x}y\bigr)\,dx =\int 1\,dx + y\int\bigl(e^{x}+x e^{x}\bigr)\,dx.
Sabemos que
\int\bigl(e^{x}+x e^{x}\bigr)\,dx =e^{x}+ \bigl(x e^{x}-\!e^{x}\bigr) =x e^{x},
logo
\Psi(x,y) = x + y\,\bigl(x e^{x}\bigr) + H(y),
onde H(y) é função de integração “constante” em x.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x e^{x} + H'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y) = x e^{x}+2.
Daí H'(y)=2, então
H(y)=2y + C_1.
Portanto
\Psi(x,y) =x + x e^{x}y +2y + C_1.

Passo 5

A solução implícita geral é
\Psi(x,y)=C,
ou seja
x + x e^{x}y +2y = C,
onde C é constante geral. Se quisermos isolar y, basta escrever
y\,\bigl(x e^{x}+2\bigr) = C - x \quad\Longrightarrow\quad y =\frac{C-x}{x e^{x}+2}.

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
x + x e^{x}y +2y = C,
ou explicitamente por
y=\frac{C - x}{x e^{x}+2}.

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