(2.0 Pts) Resolva a equação diferencial de primeira ordem
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Reconhecemos a forma
com
O conteúdo que vamos usar é o de equações exatas: verificar se
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Compute-mos as derivadas parciais para testar exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
com
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
Sabemos que
logo
onde
é função de integração “constante” em
.
Passo 4
Agora impomos
Daí
, então
Portanto
Passo 5
A solução implícita geral é
ou seja
onde
é constante geral. Se quisermos isolar
, basta escrever
Resposta
A solução geral pode ser dada implicitamente por
ou explicitamente por