(2.0 Pts.) Resolva a seguinte problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=8 e^{x} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y''-5y'+4y=8e^{x},\\\ y(0)=0,\;y'(0)=1. \end{cases}
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por método dos coeficientes a determinar, e por fim aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y''-5y'+4y=0
montamos a equação característica
r^{2}-5r+4=0,
cuja raízes são r=1 e r=4. Logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_{p} do tipo 8e^{x}, notamos que e^{x} já está na homogênea, então fazemos o palpite
y_{p}(x)=A\,x\,e^{x}.
Calculamos as derivadas:
y_{p}'=A\,(1+x)e^{x}, \quad y_{p}''=A\,(2+x)e^{x}.
Substituindo em y''-5y'+4y=8e^{x} temos
y_{p}''-5y_{p}'+4y_{p} =A\bigl((2+x)-5(1+x)+4x\bigr)e^{x} =-3A\,e^{x}.
Para dar 8e^{x} precisa de -3A=8, logo
A=-\tfrac{8}{3},
e
y_{p}(x)=-\tfrac{8}{3}\,x\,e^{x}.

Passo 4

A solução geral do problema é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}-\tfrac{8}{3}\,x\,e^{x}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}-0=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-C_{1}.
Em seguida calculamos y'(x):
y'(x)=C_{1}e^{x}+4C_{2}e^{4x} -\tfrac{8}{3}(1+x)e^{x}.
Então y'(0)=1
y'(0)=C_{1}+4C_{2}-\tfrac{8}{3}=1.
Substituindo C_{2}=-C_{1} resulta
C_{1}-4C_{1}-\tfrac{8}{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad -3C_{1}=\tfrac{11}{3} \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=-\tfrac{11}{9},
e portanto
C_{2}=+\tfrac{11}{9}.

Resposta

y(x)=-\tfrac{11}{9}e^{x}+\tfrac{11}{9}e^{4x}-\tfrac{8}{3}\,x\,e^{x}.

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