(2.0 Pts)
a) Encontre a solução do problema homogêneo y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0.( 1.0 Pts)
b) Encontre uma solução particular y_{p}(x) do problema não-homogêneo y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=3 x(\mathbf{0 . 8} \mathbf{P t s})
c) Determine a solução geral da equação diferencial y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=3 x. (0.2 Pts)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 2y = 0
(no caso homogêneo) e depois encontrar uma solução particular de
y'' + 2y' + 2y = 3x,
para finalmente escrever a solução geral. Vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte não-homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea, propomos y=e^{rx}. Substituindo em
y'' + 2y' + 2y = 0
obtém-se a equação característica
r^2 + 2r + 2 = 0.
Resolvendo-a,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral do homogêneo é
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 3

Para a parte não-homogênea com termo 3x, tentamos uma solução particular do tipo polinomial de grau 1:
y_p(x) = A x + B.
Calculamos
y_p' = A,\quad y_p'' = 0,
e substituímos em
y'' + 2y' + 2y = 3x:
0 + 2A + 2(Ax + B) = 3x \quad\Longrightarrow\quad 2Ax + 2A + 2B = 3x.
Igualando coeficientes de x e termo constante:
2A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac{3}{2},
2A + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad 3 + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{3}{2}.
Logo,
y_p(x) = \frac{3}{2}\,x - \frac{3}{2}.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + \frac{3}{2}\,x - \frac{3}{2}.

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + \frac{3}{2}\,x - \frac{3}{2}.

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