(2.0 Pts)
a) Encontre a solução do problema homogêneo
.( 1.0 Pts)
b) Encontre uma solução particular
do problema não-homogêneo
c) Determine a solução geral da equação diferencial
. (0.2 Pts)
a) Encontre a solução do problema homogêneo
b) Encontre uma solução particular
c) Determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
(no caso homogêneo) e depois encontrar uma solução particular de
para finalmente escrever a solução geral. Vamos usar o método da equação característica para a parte homogênea e o método dos coeficientes a determinar para a parte não-homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea, propomos
. Substituindo em
obtém-se a equação característica
Resolvendo-a,
Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral do homogêneo é
Passo 3
Para a parte não-homogênea com termo
, tentamos uma solução particular do tipo polinomial de grau 1:
Calculamos
e substituímos em
Igualando coeficientes de
e termo constante:
Logo,
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular: