Vamos resolver a integral . Nessa questão, estamos trabalhando com cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e radicais. Para resolver, vamos precisar utilizar uma substituição adequada e aplicar regras de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que . Assim, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja . Dessa forma, a derivada de em relação a é , ou seja, . Substituindo na integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição adicional. Vamos definir . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Passo 5
Substituindo e na integral original:
Mas sabemos que , então podemos reescrever em termos de :
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar . Isso pode ser feito utilizando uma integral padrão:
Onde a = raiz2. Aplicando isso:
integral 1v^2 - 2 , dv = 12raiz2 ln | v - raiz2v + raiz2 | + C
Passo 7
Agora, vamos retornar às substituições que fizemos. Lembrando que v = raizu^2 + 2 e u = e^x: