( 3,0 pts ) Resolva as integrais.
integral 1raize^2 x+2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 1raize^2x + 2 , dx. Nessa questão, estamos trabalhando com cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e radicais. Para resolver, vamos precisar utilizar uma substituição adequada e aplicar regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que e^2x = (e^x)^2. Assim, podemos reescrever a integral como:
integral 1raiz(e^x)^2 + 2 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = e^x. Dessa forma, a derivada de u em relação a x é du/dx = e^x, ou seja, dx = duu. Substituindo na integral:
integral 1raizu^2 + 2 cdot duu = integral duu raizu^2 + 2

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição adicional. Vamos definir v = raizu^2 + 2. Então, derivando ambos os lados em relação a u:
dvdu = uraizu^2 + 2 Rightarrow du = raizu^2 + 2u , dv

Passo 5

Substituindo v e du na integral original:
integral 1u cdot v cdot vu , dv = integral 1u^2 , dv
Mas sabemos que v = raizu^2 + 2, então podemos reescrever u^2 em termos de v:
u^2 = v^2 - 2
Portanto, a integral fica:
integral 1v^2 - 2 , dv

Passo 6

Agora, vamos integrar 1v^2 - 2. Isso pode ser feito utilizando uma integral padrão:
integral 1v^2 - a^2 , dv = 12a ln | v - av + a | + C
Onde a = raiz2. Aplicando isso:
integral 1v^2 - 2 , dv = 12raiz2 ln | v - raiz2v + raiz2 | + C

Passo 7

Agora, vamos retornar às substituições que fizemos. Lembrando que v = raizu^2 + 2 e u = e^x:
v = raize^2x + 2
Substituindo na expressão anterior:
12raiz2 ln | raize^2x + 2 - raiz2raize^2x + 2 + raiz2 | + C

Resposta

Portanto, a integral integral 1raize^2x + 2 , dx é igual a:
12raiz2 ln | raize^2x + 2 - raiz2raize^2x + 2 + raiz2 | + C

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